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1、1,第2章 信号,2,本章主要内容,信号分类 信号的性质傅立叶变换 随机信号的性质概率 随机过程 信号通过线性系统,3,目标要求,重点、难点,重点是：正态分布、瑞利分布、莱斯分布、均匀分布特性的理解和掌握，平稳随机过程及其数字特征的理解和掌握。 难点是：高斯过程、窄带随机过程、正弦波加窄带高斯过程的理解、分析和掌握。,4,主要内容,2.1 信号的类型2.2 确知信号的性质2.3 随机信号的性质2.4 常见随机变量举例2.5 随机变量的数字期望2.6 随机过程,5,主要内容,2.7 高斯过程2.8 窄带随机过程2.9 正弦波加窄带随机过程2.10 信号通过线性系统小结思考题、习题,6,2.1 信
2、号的类型,确知信号和随机信号什么是确知信号?什么是随机信号?,7,2.1 信号的类型,信号的功率:设 R = 1, 则 P = V2/R = I2R = V2 = I2信号的能量：设S代表V或I，若S随时间变化，则写为s(t)，于是，信号的能量 E = s2(t)dt 能量信号：满足 平均功率： ，故能量信号的P = 0。 功率信号：P 0 的信号，即持续时间无穷的信号。,能量信号和功率信号,8,2.1 信号的类型,能量信号和功率信号,能量信号的能量有限，但平均功率为0。功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。,9,2.2 确知信号性质,矩形脉冲函数：,10,2.2 确知信号性质,阶跃函数：,
3、11,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,功率信号的频谱：设s(t)为周期性功率信号，T0为周期，则有式中，0 = 2 / T0 = 2f0 C(jn0)是复数，式中，|Cn| 频率为nf0的分量的振幅；n 频率为nf0的分量的相位。 信号s(t)的傅里叶级数表示法：,频谱是离散的，包含各次谐波的振幅和相位,12,【例2.1】 试求周期性方波的频谱。 解：设一周期性方波的周期为T，宽度为，幅度为V 求频谱：,13,例2.1 频谱图,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,14,【例2.2】试求全波整流后的正弦波的频谱。解：设此信号的表示式为：,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,15,
4、求频谱：信号的傅立叶级数形式,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,16,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,例2.2 频谱图,17,设一能量信号为s(t)，则其频谱密度为：S()的逆变换为原信号：,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,能量信号的频谱密度,18,【例2.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。解：设此矩形脉冲的表示式为：则它的频谱密度就是它的傅里叶变换,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,19,【例2.4】试求抽样函数的波形和频谱密度。解：抽样函数的定义是而Sa(t)的频谱密度为：和上例比较可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲线相同，而Sa(t)的频谱密度Sa()的曲
5、线和上例中的g(t)波形相同。,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,20,【例2.5】单位冲激函数及其频谱密度。解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是：(t)的频谱密度：,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,21,(t)及其频谱密度的曲线：函数的物理意义：高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,22,用抽样函数Sa(t)表示函数：Sa(t)有如下性质：当 k 时，振幅 ，波 形的零点间隔 0，故有：,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,23,函数的性质 对f(t)的抽样： 函数是偶函数： 函数是单位阶跃函数的导数：,2.2 确知信号性质
6、2.2.1频域性质,24,能量信号的频谱密度S(f)和功率信号的频谱C(jn0)的区别:S(f) 连续谱； C(jn0) 离散谱S(f)的单位：V/Hz； C(jn0) 的单位：VS(f)在一频率点上的幅度无穷小。,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,25,傅立叶变换性质,周期 离散 非周期 连续,26,【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。解：设一个余弦波的表示式为f (t) = cos0t，则其频谱密度F()按式(2.2-10)计算，可以写为上式可以改写为,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,27,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,28,须掌握的傅氏变换对,1. 单位冲激
7、2. 单位阶跃 3. 单边指数函数 4. 双边指数函数 5. 门函数 6. 正弦函数（余弦函数）,29,信号与线性系统中讲的一些变换有什么作用？,30,能量谱密度设一个能量信号s(t)的能量为E，则其能量由下式决定：若此信号的频谱密度为S(f)，则由巴塞伐尔（Parseval）定理得知：上式中|S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,31,上式可以改写为：式中，G(f)|S(f)|2 （J / Hz） 为能量谱密度。 G(f)的性质：因s(t)是实函数，故|S(f)|2 是偶函数,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,32,功率
8、谱密度令s(t)的截短信号为sT(t)，-T/2 t T/2，则有定义功率谱密度为：得到信号功率：,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,33,确知信号的频域性质,频谱函数 功率信号 频谱密度 能量信号 能量谱密度 G(f)|S(f)|2 功率谱密度,34,自相关函数 能量信号的自相关函数定义：功率信号的自相关函数定义：性质： R()只和 有关，和 t 无关 当 = 0时，能量信号的R()等于信号的能量；功率信号的R()等于信号的平均功率。,2.2 确知信号性质2.2.2时域性质,35,互相关函数能量信号的互相关函数定义：功率信号的互相关函数定义：性质： R12()只和有关，和t无关： 证：
9、令x=t+，则,2.2 确知信号性质2.2.2时域性质,36,2.3 随机信号的性质-2.3.1概率分布,随机变量的概念：若某种试验A的随机结果用X表示，则称此X为一个随机变量，并设它的取值为x。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。,37,2.3 随机信号的性质-2.3.1概率分布,随机变量的分布函数：定义：随机变量X取值不超过某个数x的概率P(X x) 是取值x的函数，记为FX(x) = P(X x) 函数FX(x) 即为随机变量X的分布函数。性质： P(a X b) + P(X a) = P(X b),P(a X b) = P(X b) P(X a)， P(a X b
10、) = FX(b) FX(a),38,离散随机变量的分布函数： 设X的取值为：x1 x2 xi xn，其取值的概率分别为p1, p2, , pi, , pn，则有P (X x1) = 0, P(X xn) = 1 P(X xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + + P(X = xi), 性质：FX(- ) = 0FX(+) = 1若x1 x2，则有: FX(x1) FX(x2) ，为单调增函数。,2.3 随机信号的性质-2.3.1概率分布,39,连续随机变量的分布函数：当x连续时，由定义分布函数定义FX(x) = P(X x) 可知， FX(x) 为一连续单调递增函数：,2
11、.3 随机信号的性质-2.3.1概率分布,40,连续随机变量的概率密度pX(x)pX (x)的定义：pX (x)的意义：pX (x)是FX (x)的导数，是FX (x)曲线的斜率能够从pX (x)求出P(a 0, a = 常数概率密度曲线：,43,均匀分布随机变量定义：概率密度式中，a，b为常数概率密度曲线：,2.4 常见随机变量举例,44,瑞利(Rayleigh)分布随机变量 定义：概率密度为式中，a 0，为常数。概率密度曲线：,2.4 常见随机变量举例,45,2.5 随机变量的数字特征,数学期望定义：对于连续随机变量，其数学期望可以定义为：式中，pX(x)为随机变量X的概率密度。数学期望又
12、称为统计平均值。,46,2.5 随机变量的数字特征,数学期望性质：若X和Y互相独立，且E(X)和E(Y)存在。,47,方差定义：随机变量X的方差是随机变量X与其数学期望之差的平方的数学期望式中方差还可改写为：对于离散随机变量， 对于连续随机变量，,2.5 随机变量的数字特征,48,方差性质：常量的方差等于0，即D( C ) = 0 设D(X)存在，C为常量，则：D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X) 设D(X) 和D(X)都存在，且X和Y互相独立，则： D(X+Y)=D(X)+D(Y)同样，对于多个互相独立的随机变量： D(X1 + X2 + + Xn)=D(X1) + D(X2)
13、+ + D(Xn),2.5 随机变量的数字特征,49,矩 定义：随机变量X的k阶矩定义为k阶原点矩：a = 0时的矩：k阶中心矩： 时的矩：,2.5 随机变量的数字特征,50,矩显然，一阶原点矩为数学期望：二阶中心矩为方差：,2.5 随机变量的数字特征,51,2.6 随机过程,1.定义：随着时间t而变化的随机变量，称为随机过程。也就是说，随机过程可以看成是由一个事件A的全部可能“实现”构成的总体，记为X(A,t)。,（1）几种表示的意义： X(A,t)事件A的全部可能“实现”的总体；X(Ai,t)事件A的一个实现，为确定的时间函数；X(A,tk)在给定时刻tk上的函数值。 简记：X(A,t)
14、X(t)X(Ai,t) Xi(t),一、基本概念,52,2.6 随机过程,（2）举例：接收机噪声,53,2. 随机过程的数字特征： （1）统计平均值：（2）方差：（3）自相关函数：,2.6 随机过程,在时刻ti观察随机过程得到的随机变量,是X(ti)在时刻ti的概率密度函数,54,二、平稳随机过程1. 平稳随机过程的定义：统计特性与时间起点无关的随机过程。（又称严格平稳随机过程）2. 广义平稳随机过程的定义：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。,2.6 随机过程,55,二、平稳随机过程3. 广义平稳随机过程的性质： （1） （2） （3） 严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。,2.6 随机过程,56,三、各态历经性按照定义求一个平稳随机过程X(t)的平均值和相关函数，需要对随机过程的所有实现计算统计平均。实际上做不到。 若一个随机过程具有各态历经性，它的统计平均就等于时间平均。,
