《2015高中数学 1.7《相关性》教案2（北师大版必修3）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015高中数学 1.7《相关性》教案2（北师大版必修3）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学必修 3（配套北京师范大学出版社实验教科书）8 相关性相关性一一 相关性相关性1变量之间的关系（1）现实生活中，有些量与量之间存在着明确的函数关系，例如：正方形的边长和面积，有着的关系；aS2aS 真空中的自由落体运动其下落的距离和下落的时间 有着的关系；ht2 21gth 一辆行驶在公路上的汽车，每个时刻 都有一个确定的速度，它们之间也是函数关系，tv尽管我们无法知道这个函数的解析表达式式，也画不出它的图像。（2）现实生活中，有些量与量之间不满足函数关系，但从总的变化趋势来看变量之间存在着某种关系即有相关关系，例如：人的身高与体重。一般说来，人的身高超高，体重越重，二者确实有关系。但
2、是身高相同的人，体重却不一定相同，也就是说，给定身高 h 不可能有唯一的体重 m 与之对应。像这样例子还有很多，如人的年龄与血压、农作物的施肥量与产量、商品销售收入与广告支出经费等。2散点图散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形。特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势。优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系。散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度。3散点图与两个变量的相关性两个变量之间除了函数关系之外，还有相关
3、关系，但这种关系又不能用函数关系精确表达出来。为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。图 181从上散点图可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致均势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样挖的过程称为曲线拟合曲线拟合。若两个变量和x的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关线性相关的。此时我们y可以用一条直线来近似，如图 181（a） 。若所有点看上去都在某条曲线（不是一条直线）附近波动，则称相关为非线性相关非线性相关的。此时，可以用一条曲线来拟合
4、，如图 181（b） 。如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的，如图 181（c） 。在散点图中如何近似地描述这种线性关系，画出直线？在散点图中如何近似地描述这种线性关系，画出直线？在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述这种相关关系，统计学发挥着非常重要的作用。由于变量之间的相关关系带有不确定性，这需要收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断。例 一般说来，一个人的身高越高，他的手就越大，相应，他的右一 长（如图 182）就越长，因此，人的身高与右手一 长之间存在着一定的关系。为了对这个问题进行调查，我们北京市某中学2003 年高三年级
5、96 名学生的身高与右手一 长的数据如下表：（1）根据上表中的数据，制成散点图。你能从散点图中发现身高与右手一 长之间的近似关系呢？（2）如近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。（3）如果一个学生的身高是 188cm，你能能估计他的右手一 大概是多长吗？根据上表中的数据，制成散点图（如图 183） ；图 183从散点图 183 上可以发现，身高与右手一 长之间的总体趋势：右手一 长是随着身高变大而变大，且成一直线。与就是说身高与右手一 长之间是线性相关的。同学甲说：我从左端点开始，取两条直线，如图 184，再到这两条直线的“中间位置”作一条直线。根据我的想法，一个身高 188
6、cm 的学生，他的右手一 长大概有 21cm；图 184同学乙：我先求出相向身高同学右手一 长的平均值，画出散点图，如图 185，再画出近似的直线，使得直线两侧的点数尽可能一样多。根据我的想法，一个身高 188 cm 的学生，他的右手一 长大概有 22 cm 左右。图 185同学丙说：我先将所有的点分成两部分，一部分是身高在 170 cm 以下的，一部分是身高在 170 cm 以上的；然后，每部分分的点求一个“平均点”身高的平均值作为平均身高，右手一 长的平均值作为平均右手一 长，即（164，19） ， （177，21） ；最后，将这两点连接成一条直线。设这条直线的方程是：，其中。代入一点的坐
7、bkxy154. 0132 1641771921k标求出，进而即为所求的直线方程。根据我的想法，231. 61381b231. 6154. 0xy一个身高 188 cm 的学生，他的右手一 长大概有 22.7 cm 左右。（4）同学丁说：我先将所有的点按横坐标从小到大的顺序进行排列，尽可能地平均分成三等份；每部分的点按同学丙的方法求一个“平均点” ， “最小点”为（161.3，18.2） ， “中间点”为（170.3，19.9） 。我再用直尺连接“最大点”与“最小点” 。然后平行地推，画出过“平均点” （170.3，19.9）直线，如图 186。图 186设这条直线的方程是，其中。代入点bkx
8、y173. 0179312 .1793 .1613 .212 .18k(1703，19.9)的坐标求出，进而即为所求的直线方593. 98958586b593. 9173. 0xy程。根据我的想法，一个身高 188 cm 的学生，他的右手一 长大概有 23.70 cm 左右。在这里需要强调的是，身高和右手一 长之间没有函数关系。我们得到的直线方程，只是对其变化趋势的一个近似描述。对一个给定身高的人，人们可以用这个方程来估计这个人的右手一 长，这是十分有意义的。同学甲和同学乙的思考方法是比较形象的，同学甲最直观，但比较粗略，同学乙“使得在直线两侧的点数尽可能一样多”是理性和精细的同学丙和同学丁的
9、思考方法是比较理性的，也是相对粗略的，但对于学生来说，比较直观，也便于理解和操作这两种方法比较程序化，同学丁的方法更精细一点同学丙和同学丁的思考方法本身是值得研究和探讨的，如果按照同学丙和同学丁的方法，那 么你是否能将他们的思考方法更精细化比如，我们可以将所有的点分成四个部分，每个部 分取一个平均点，这样就得出了四个点的坐标，然后，再分别求出这四个点中的前三个点和 后三个点的平均点，最后将这两个点连成一条直线这条直线在一定程度上要比同学丙和同 学丁的方法精细一些如此做下去，一定会得到越来越精细的拟合例例 1 1 下列两个变量之间的关系是相关系的是（ ）A正方体的棱长和体积B单位圆中角的度数和所
10、对弧长C单产为常数时，土地面积和总产量D日照时间与水稻的亩产量解：解：选 D。例例 2 5 个学生的数学和物理成绩如下表：ABCDE数学8075706560物理7066686462（1）画出散点图，并判断它们是否有相关关系。（2）如近似成线性关系，请找出一条直线来近似地表示这种线关系。规范解：（1）散点图，如图 1814 所示：图 1814由散点图可见，数学和物理之间具有相关关系。（2）将所有的点从小到大分成两部分，一部分是 A、B、C 的数学成绩和物理成绩，另一部分是 D、E 的数学成绩和物理成绩；然后，每部分的点求一个“平均点”数学成绩的平均值作为数学平均成绩，物理成绩的平均值作为物理平均
11、成绩，即（75，68） ，（62.5，63） ；最后，将这两点连接成一条直线。设这条直线的方程是：，其中。代入一点的坐标求出bkxy4 . 0755 .626863k，进而即为所求的直线方程。38b384 . 0xy练习练习1下列四个关系不是相关关系的是（ ） A农作物收获和施肥量的关系 B家庭收入多少与消费支出增长的关系C产品产量与单位成品成本的关系 D圆的半径长度和周长的关系 2判断下列图中的两个变量，具有相关关系的是（ ）3为调查父子身高之间的关系，在一次统计调查中研究人员获得了一组样本数据： 父高 X150153155158161164165167168169 子高 Y159157163166169170169167169170 父高 X170171172174175177178181183185 子高 Y173170170176178174173178176180 请画出父子身高的散点图，并判断它们是否近似线性关系。 4
