《2015年湖南省高中数学竞赛试卷a word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年湖南省高中数学竞赛试卷a word版含答案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2015 年湖南省高中数学竞赛（A 卷）（2015-06-27）1、选择题（每个 5 分，共 6 题） 1.将选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去年 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91，现场 做的 9 个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示，则 7 个剩余分数的方 差为A.116 9B.36 7C.36D.6 7 72.半径为 R 的球的内部装有 4 个有相同半径 r 的小球，则小球半径 r 可能的最大值是A.3 23RB.6 36RC.1 13RD.5 25R3.已知数列an和bn对任意*nN，都有nnab，当n 时，数列an和bn的极限分别是 A 和 B，
2、则 A.ABB.ABC.ABD.A 和 B 的大小关系不确定4.对所有满足15nm的 m,n,极坐标方程1 1cosn mC 表示的不同双曲线条数为A.6B.9C.12D. 155.使关于 x 的不等式36xxk有解的实数 k 的最大值是A.63B.3C.63D.66.设22 |, ,Mxyx yZ ，则对任意的整数 n，形如 4n,4n+1,4n+2,4n+3 的数中，不是 M 中的元素的数为 A.4nB.4n+1C.4n+2D.4n+32、填空题（每个 8 分，共 6 题） 7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为： 8.对任一实数序列123(,.)A ，
3、定义A 为序列213243(,.) ，它的第 n 项是1nn，假定序列（A）的所有项都是 1，且19920 ，则1的值为：9.满足使1122 3nIi为纯虚数的最小正整数 n= 10.将 1，2，3，.，9 这 9 个数字填在如图所示的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每一 列从上到下分别依次增大，当 3，4 固定在图中的位置时，填写空格的方法数为： 11.记集合1234 2340,1,2,3,4,5,6,|,1,2,3,47777iaaaaTMaT i，将 M 中的元素按从大到小顺序排列，则第 2015 年数是： 12.设直线系: cos(2)sin1(02 )Mxy ，对于下列四个命题：
4、M 中所有直线均经过一个定点 存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上对于任意整数(3)n n 存在正 n 边形，其所有边均在 M 中的直线上M 中的直线所能围成的三角形面积都相等 其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）3、解答题（共 4 题，满分 72 分）13.（本小题满分 16 分） 如图所示，AB 为 RtABC 的斜边，I 为其内心，若IAB 的外接圆的半径为 R，RtABC的内切圆半径为 r，求证：(22)Rr.14.（本小题满分 16 分）如图，A，B 为椭圆22221xy ab（ab0)和双曲线22221xy ab的公共顶点，P、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于 A、B
5、的动点，且满足()(,| 1)APBPAQBQR 求证：（）三点 O、P、Q 在同一直线上； （）若直线 AP、BP、AQ、BQ 的斜率分别是 k1、k2、k3、k4，则 k1+k2+k3+k4是定值。15.（本小题满分 20 分）已知整数列na， nb满足11nnaa，11 2nnnbab，对于正整数 n，定义函数2( )nnnfxxa xb，证明：若存在某个( )kfx有两个整数零点，则必有无穷多个( )nfx有两个整数零点。16.（本小题满分 20 分）已知0a ，函数( )ln(1), ( )xf xxa xg xe。（）经过原点分别作曲线( )yf x和( )yg x的切线1l和2l。已知两切线的斜率互为倒数，求证：211eeaee（）设( )(1)( )h xf xg x，当0x 时，( )1h x 恒成立，试求实数 a 的聚会范围。2015 年湖南省高中数学竞赛答案（A 卷）BBBADC7.15 8.819 9.3 10.6 11.386 240112.13.14.15.16.
