《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第7章 第11节 轨迹方程的求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第7章 第11节 轨迹方程的求法（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十一节第十一节 轨迹方程的求法轨迹方程的求法知识梳理 一、一、 “曲线的方程曲线的方程”和和“方程的曲线方程的曲线”的概念的概念 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的 集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0 的实数解建立 了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲 线 二、求曲线的二、求曲线的( (轨迹轨迹) )方程方程 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符 合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何 条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量
2、间的关系这类问题 除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外， 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能 力 它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程， 常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未 知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的 方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨 迹类型的轨迹方程因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻 找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是 寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的 运用 (1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤 建系设点：建立适当的直角坐标系
3、，设曲线上任一点坐 标M(x，y)；了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.列几何等式：写出适合条件的点的集合PM|P(M)， 关键是根据条件列出适合条件的等式； 化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程； 化简：把方程f(x，y)0 化成最简形式； 证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程 除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤可以 省略不写如有特殊情况，可适当加以说明，步骤也可省 略 (2)求曲线轨迹方程应注意的问题 要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方 程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹 的纯粹性； 若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；
4、 曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅 要求出方程，而且要指明曲线的位置、类型基础自测 1(2013衡水中学模拟)下列说法正确的是( ) A在ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边 上的高的方程是x2 B方程yx2(x0)的曲线是抛物线 C已知平面上两定点A、B，动点P满足|PA|PB| |AB|，则P点的轨迹是双曲线1 2 D第一、三象限角平分线的方程是yx解析：解析：A 选项中高线为线段，B 选项中为抛物线的一部分， C 选项中是双曲线的一支故选 D. 答案：答案：D2已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是( )PA
5、PBA圆 B椭圆 C抛物线 D双曲线解析：解析：设动点P的坐标为(x，y)，则(2x，y)，PA(3x、y)，由x2，得y2x6，因此选 C.PBPAPB答案：答案：C3.已知椭圆1 的左、右两个焦点分别是F1，F2，Px2 4y2 3 是这个椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得|PQ|F2P|， 则Q的轨迹方程是_解析：解析：提示：用定义法求轨迹方程 答案：答案：(x1)2y2161曲线C是平面内与两个定点F1(1,0)和F2 (1,0)的距 离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹，给出下列三个结论： 曲线C过坐标原点； 曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2
6、.1 2 其中，所有正确结论的序号是_解析：解析： 曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果 经过原点，那么a1，与条件不符；曲线C关于原点对称， 这点显然正确，如果在某点处|PF1|PF2|a2，关于原点的对称 点处也一定符合|PF1|PF2|a2；三角形的面积SF1F2P，因为Sa2 2F1F2P |PF1|PF2|sinF1PF2 |PF1|PF2|.所以1 21 2a2 2 正确 答案：答案：2(2013新课标全国卷)已知圆M：(x1)2y21， 圆N：(x1)2y29，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心 的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，
7、l与曲线C交于 A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 解析：解析：由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11，圆 N的圆心为N(1,0)，半径r23. 设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. (1)因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以 |PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24，由椭圆的定义可 知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)3x2 4y2 3 (2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于 |PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为 (2,0)时，R2. 所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24
8、， 当l的倾斜角为 90时，则与y轴重合，可得|AB|2.3 当l的倾斜角不为 90时，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以|QP| |QM|R r1设l：yk(x4)，由l与圆M相切得1，解得k|3k|1k2.24当k时，将yx代入1(x2)并整理24242x2 4y2 3得 7x28x80，解得x1，x2，所以46 2746 27|AB|x1x2|.1k218 7当k时，由图形的对称性可知|AB|，2418 7综上，|AB|或|AB|2.18 731(2013盐城模拟)设M、N为拋物线C：yx2上的两个 动点，过M、N分别作拋物线C的切线l1、l2，
9、与x轴分别交于 A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB1. (1)求点P的轨迹方程； (2)求证：MNP的面积为一个定值，并求出这个定值(1)解析：解析：y2x，设M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知， 切线l1，l2的斜率分别为k12m，k22n，切线方程分别为 y2mxm2，y2nxn2，则A，B，设P(x，y)，由Error!(m 2，0)(n 2，0) 得Error! 因为AB1，所以|nm|2， 即(mn)24mn4，将代入上式得：yx21， 所以点P的轨迹方程为yx21. (2)证明：证明：设直线MN的方程为ykxb(b0) 联立方程Error!消去y得x2kxb0， 所
10、以mnk，mnb， 点P到直线MN的距离d，MN|mn|，所以S|k(mn 2)mnb|1k21k2MNPdMN|mn| (mn)1 21 2|k(mn 2)mnb|1 42|mn|2.即MNP的面积为定值 2.2.已知椭圆E：1(ab0)过点P(，1)，x2 a2y2 b22 F1、F2为其左、右焦点，且PF1F2的面积等于.2 (1)求椭圆E的方程 (2)若M，N是直线x 上的两个动点，满足F1MF2N，3 2 问：以MN为直径的圆C是否恒过定点？若是，请给予证明；若 不是，请说明理由解析：解析：(1)设椭圆的焦距为 2c，由SPF1F2 2c1，1 22 c.2 两个焦点为F1(，0)，F2(，0)22 又椭圆E过点P(，1)，2a|PF1|PF2|4，得a2.2b2a2c22，椭圆E方程为1.x2 4y2 2(2)设M，N的坐标分别为 ，m，3 2(3 2，n)则，.F1M(3 2 2，m)F2N(3 2 2，n)，0，F1MF2NF1MF2N即 2mn0，mn .9 41 4以MN为直径的圆C的圆心为，(3 2，mn 2)半径为，|mn| 2圆C的方程为22，(x3 2)(ymn 2)mn2 4 即x2y23x(mn)y20. 令y0，整理得x23x20，得x1 或x2，以MN为直径的圆C必过定点(1,0)和(2,0)
