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1、第四节第四节 基本不等式：基本不等式： (a(a，bRbR) )a ab ba ab b 2 2知识梳理 一、算术平均数与几何平均数的概念若a0，b0，则a，b的算术平均数是，几何平均数ab 2 是.ab 二、常用的重要不等式和基本不等式 1若aR R，则a20，0(当且仅当a0 时，取等号)|a| 2若a，bR R，则a2b22ab(当且仅当ab时取等号) 3若a，bR R，则ab2(当且仅当ab时取等号)ab 4若a，bR R，则2(当且仅当ab时取a2b2 2(ab 2)等号) 三、均值不等式(基本不等式)两个正数的均值不等式：若a，bR R，则(当且ab 2ab 仅当ab时取等号)变式
2、： ab2(a，bR R)(ab 2)四、最值定理1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大小值问题.设x0，y0，由xy2，有：xy (1)若积xyP(定值)，则和xy最小值为 2；P(2)若和xyS(定值)，则积xy最大值为2.(S2) 即积定和最小，和定积最大 运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、 三相等” 五、比较法的两种形式 一是作差，二是作商基础自测 1若x2y4，则 2x4y的最小值是( ) A4 B8 C2 D422解析：解析：因为 2x4y2228，当2x22y2x2y24 且仅当 2x22y，即x2y2 时取等号，所以 2x4y的最小值
3、为 8. 答案：答案：B2下列结论中正确的是( )A当x0 且x1 时，lg x21 lg xB当x0 时，2x1xC当x2 时，x 的最小值为 21 xD当 0x2 时，x 无最大值1 x答案：答案：B3若直线 2axby20(a0，b0)始终平分圆x2y22x4y10 的周长，则 的最小值是_1 a1 b答案：答案：44当x2 时，不等式xa恒成立，则实数a的取1x2 值范围是_解析：解析：因为xa恒成立，1 x2所以a必须小于或等于x的最小值1 x2 因为x2，所以x20.所以x(x2)24.1 x21 x2 所以a4. 答案：答案：(，41(2013山东卷)设正实数x，y，z满足x23
4、xy4y2z0，则当取得最大值时， 的最大值xy z2 x1 y2 z 为( )A0 B1 C. D39 4解析：解析：由已知得zx23xy4y2(*)则1，xy zxy x23xy4y21 x y4y x3当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得 z2y2，所以 211.故选 B.2 x1 y2 z1 y1 y1 y2(1 y1) 答案：答案：B2某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800元若每批生产x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天x 8 的仓储费用为 1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓 储费用之和最小，每批应生产产品( ) A60 件 B80 件 C10
5、0 件 D120 件解析：解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和 为f(x)，则f(x) 220，当且仅当800x8x 1x800 xx 8800 xx 8 (x0)，即x80 时，取最小值故选 B.800 xx 8 答案：答案：B1已知a0，b0，则 2的最小值是( )1 a1 bab A2 B2 2 C4 D5解析：解析： 2224，当且仅当1 a1 bab1 abab ab，1 时，等号成立，即ab1 时，表达式取最小值ab 为 4.故选 C. 答案：答案：C2(2013东莞二模)已知x0，y0，且 1，则1 x9 y 2x3y的最小值为_解析：解析：由题意可得，2x3y(2x3y)292292(1 x9 y)3y x18x y3y x18xy 96，6当且仅当，结合 1，解得3y x18x y1 x9 yx，y9 时取等号，故 2x3y的最小值为 29623 626 .6 答案：答案：2966
