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1、第十节第十节抛物线抛物线(二二)基础自测1(2012合肥月考)已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆x2y26x70 相切，则 p 的值为( )A. B1 C2 D412解析：抛物线 y22px(p0)的准线为 x .p2圆 x2y26x70，可化为(x3)2y216，则圆心为(3,0)，半径为 4.又抛物线 y22px(p0)的准线与圆 x2y26x-70 相切，3 4，解得 p2.故选 C.p2答案：C2已知抛物线 C：y x2，则过抛物线的焦点 F 且斜率为14的直线 l 被抛物线截得的线段长为( )12A. B. 94178C.5 D.4解析：抛物线 C：x24y，则焦点 F(0,1
2、)直线 l 为y x1.由Error!Error!得 x22x40.12由韦达定理，得 x1x22，x1x24.由弦长公式可得，截得的线段长为1k25.x1x224x1x21(12)2224 4答案：C3(2013东北三校第二次联考)若拋物线 y22px(p0)上一点 P 到焦点和拋物线的对称轴的距离分别为 10 和 6，则 p 的值为_解析：设 P(x0，y0)，则Error!Error!所以 362p，即(10p2)p220p360，解得 p2 或 18.答案：2 或 184(2013宁夏银川一中第五次月考)已知圆x2y26x70 与抛物线 y22px(p0)的准线相切，则此抛物线的焦点坐
3、标是_解析：圆方程：x2y26x70 化为：(x3)2y216，垂直于 x 轴的切线为：x1，x7.抛物线 y22px(p0)的准线方程为 x ，因为抛物线 y22px(p0)的准线与圆(x3)p22y216 相切，所以 1，解得 p2.所以抛物线的焦点p2坐标为(1,0)答案：(1,0)1(2013江西卷) 已知点 A(2,0)，抛物线 C：x24y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则|FM|MN|( )A2 B12 C1 D1355解析：依题意可得 AF 所在直线方程为 y1，代入x2x24y 得 y，又|FM|MN|(1y)(1y)1.3 52
4、5答案：C 2(2013辽宁卷)如图，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点 M(x0，y0)在抛物线 C2上， 过 M 作 C1的切线，切点为 A，B(M 为原点 O 时，A，B 重合于O)当 x01时，切线 MA 的斜率为 .212(1)求 p 的值；(2)当 M 在 C2上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程 (A，B 重合于 O 时，中点为 O)解析：(1)因为抛物线 C1：x24y 上任意一点(x，y)的切线斜率为 y ，且切线 MA 的斜率为 ，所以 A 点坐标为x212，故切线 MA 的方程为 y (x1) .(1，14)1214因为点 M(1，y0)在切线 MA
5、 及抛物线 C2上，于是2y0 (2) ，1221432 24y0.1 222p32 22p由得 p2.(2)设 N(x，y)，A，B，x1x2，由 N 为线段(x1，x2 14)(x2，x2 24)AB 中点知 x，x1x22y.x2 1x2 28切线 MA、MB 的方程为y(xx1).x12x2 14y(xx2).x22x2 24由得 MA，MB 的交点 M(x0，y0)的坐标为x0，y0.x1x22x1x24因为点 M(x0，y0)在 C2上，即 x 4y0，2 0所以 x1x2.x2 1x2 26由得 x2 y，x0.43当 x1x2时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，
6、坐标满足 x2 y.43因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2 y.431(2012三明模拟)设抛物线 y24x 的准线为 l，焦点为F，P 为抛物线上的点，PQl，垂足为 Q，若PQF 的面积与 POF 的面积之比为 31，则点 P 坐标是_解析：(2，2)或(2,2)222(2013江苏泰州二模)已知过点 A(4, 0)的动直线 l 与拋物线 G：x22py(p0)相交于 B、C 两点当直线 l 的斜率是 时，124.ACAB(1)求拋物线 G 的方程；(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范 围解析：(1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线 l 的斜率是 时，12l 的方程为 y (x4)，即 x2y4.12联立Error!Error!得 2y2(8p)y80，y1y2，y1y24，由已知4，所以 y24y1，8p2ACAB由韦达定理及 p0 可得 y11，y24，p2，所以拋物线 G 的方程为 x24y.(2)由题意知直线 l 的斜率存在，且不为 0，设 l：yk(x4)，BC 中点坐标为(x0，y0)，由Error!Error!得x24kx16k0，由 0 得 k0，所以 x02k，y0k(x04)2k24k，BC 的中垂xCxB2线方程为 y2k24k (x2k)，所以 b2(k1)2，所以 b 的1k取值范围是(2，)
