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1、第六节第六节 椭椭 圆圆 (二二)基础自测1(2012东北四校一模)已知方程1 表示焦点x22ky22k1在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( )A. B(1，)(12，2)C(1,2) D.(12，1)解析：依题意，2k12k0，解得 1k2.故选 C.答案：C2(2013湖南郴州模拟)设 e 是椭圆1 的离心率，x24y2k且 e，则实数 k 的取值范围是( )(12，1)A(0,3)B.(3，163)C(0,3)D(0,2)(163，)解析：当 k4 时，c，由条件知 k414k4k；163当 02，所以 m2n2b0)的x2a2y2b2左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C
2、 上的点， PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.36131233解析：因为 PF2F1F2，PF1F230，所以 PF22ctan 30c，PF1c.2 334 33又|PF1|PF2|c2a，所以 ，6 33ca1333即椭圆的离心率为.故选 D.33答案：D2(2013安徽卷)设椭圆 E：1 的焦点在 x 轴x2a2y21a2上(1)若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程；(2)设 F1，F2分别是椭圆 E 的左、右焦点，P 为椭圆 E 上第 一象限内的点，直线 F2P 交 y 轴于点 Q，并且 F1PF1Q.证明： 当 a 变化时，点 P
3、在某定直线上(1)解析：因为焦距为 1，所以 2a21 ，解得 a2 .1458故椭圆 E 的方程为1.8x258y23(2)证明：设 P(x0，y0)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中 c.2a21由题设知 x0c，则直线 F1P 的斜率 kF1P.y0x0c直线 F2P 的斜率 kF2P.y0x0c故直线 F2P 的方程为 y(xc)y0x0c当 x0 时，y，即点 Q 坐标为.cy0cx0(0，cy0cx0)因此，直线 F1Q 的斜率为 kF1Q.y0cx0由于 F1PF1Q，所以 kF1PkF1Q1.y0x0cy0cx0化简得 y x (2a21)2 02 0将代入椭圆 E 的方程
4、，由于点 P(x0，y0)在第一象限解得 x0a2，y01a2.即点 P 在定直线 xy1 上1(2012长春调研)以 O 为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点 M，满足|2|2|，则该椭圆的离MF1MOMF2心率为( )A. B.3323C. D.632 55解析：易知点 M 在 OF2的垂直平分线上，过 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 N，则点 N 坐标为，并设(c2，0)|2|2|2t，根据勾股定理可知，MF1MOMF2|2|2|2|2，得到 ct，由MF1NF1MF2NF262|MF1|MF2|2a 得 a ，则 e .故选 C.3t2ca63答案：C2(2013潮州二模
5、)设椭圆1(ab0)的左右顶点分x2a2y2b2别为 A(2,0)，B(2,0)，离心率 e.过该椭圆上任一点 P 作32PQx 轴，垂足为 Q，点 C 在 QP 的延长线上，且|QP|PC|.(1)求椭圆的方程；(2)求动点 C 的轨迹 E 的方程；(3)设直线 AC(C 点不同于 A，B)与直线 x2 交于点 R，D 为线段 RB 的中点，试判断直线 CD 与曲线 E 的位置关系，并 证明你的结论解析：(1)由题意，可得 a2，e ，ca32可得 c，3所以 b2a2c21，因此，椭圆的方程为y21.x24(2)设 C(x，y)，P(x0，y0)，由题意得Error!Error!即Erro
6、r!Error!又1，代入得21，x2 04y2 04x24(12y)即 x2y24.即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x2y24.(3)设 C(m，n)，点 R 的坐标为(2，t)，因为 A、C、R 三点共线，所以，而(m2，n)，(4，t)，ACARACAR则 4nt(m2)，所以 t，4nm2可得点 R 的坐标为，(2，4nm2)点 D 的坐标为，(2，2nm2)所以直线 CD 的斜率为 k，n2nm2m2mnm24而 m2n24，所以 m24n2，代入上式可得 k ，mnn2mn所以直线 CD 的方程为 yn (xm)，mn化简得 mxny40，所以圆心 O 到直线 CD 的距离 d2r，4m2n244因此，直线 CD 与圆 O 相切，即 CD 与曲线 E 相切
