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1、第3讲 幂函数知识梳理一、幂函数的概念一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数二、幂函数的图像及性质定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减幂函数（R，是常数）的图像在第一象限的分布规律是：所有幂函数（R，是常数）的图像都过点；当时函数的图像都过原点；当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如）；当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如）当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如）当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线（如）重、难点突破重点：幂函数的概念、几个特殊幂函数的
2、图像与性质。难点：综合运用几个特殊幂函数的图像与性质解决问题。重难点：幂函数性质的拓展当时，幂函数有下列性质：（1）图象都通过点；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。当时，幂函数有下列性质：（1）图象都通过点；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与轴无限地接近；向右无限地与轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。热点考点题型探析考点 幂函数的概念、图象和性质
3、题型1：利用幂函数的单调性比较大小 例1（中山市11届月考）已知，试比较的大小；解题思路欲比较这几个数的大小，因为它们的指数相同，应考虑某个幂函数的单调性解析 在上单调递增，又 .名师指引比较几个数式的大小，是解题过程中常常遇到的知识考点，往往都要用到函数的单调性，我们应该熟练掌握规定的几个特殊幂函数的单调性、奇偶性及图像特征.题型2：由幂函数的性质确定解析式 例2 已知函数f(x)=x(pZ)在(0,+)上是增函数，且在其定义域上是偶函数。（1）求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式。（2）对于（1）中求得的函数f(x)，设函数g(x)=qff(x)+(2q1)f(x)+1，问是否存在实
4、数q(q0。f(x)在(0,+)上是增函数，p2+p+0 解得：1p3,而pZ p=0,1,2当p=0或2时，有f(x)=不是偶函数，故p=1，此时,f(x)=x2。O（2）设t=x2，由g(x)在(,4上是减函数，在(4,0)上是增函数，而t=x2在16，+和(0,16)上都是增函数，得h(t)=qt2+(2q1)t+1在（0，16）上是增函数，在16，+上是减函数，从而可得=16，q=故存在实数q=，使得g(x)在(,4上是减函数，且在(4,0)上是增函数。名师指引（1）解决这类问题要紧扣幂函数的定义和性质，依单调性从其指数入手；（2）复合函数的单调规则是我们处理复合函数的单调性的重要依据
5、。新题导练1（珠海斗门中学11届月考）幂函数,及直线，将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：，（如图所示），那么幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A， ；B ，；，；D ，解析 D；由于当时，当时，故幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，2若，则的取值范围是 解析 ；令，则在上是减函数，故得，解得M3求函数的定义域、值域，并判断其单调性解析因为必为奇数，并且所以函数的定义域为，类比的图象可知，所求函数的值域为，并且在上为增函数备选例题已知函数满足（1）求的值并求出相应的的解析式；（2）对于（1）中得到的函数，试判断是否存在，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由解题思路利用求，易得的解析式，再利用表达从而求解qtiOm解析（1）因为，所以在第一象限是增函数故，解得又，所以或，当或时，所以（2）假设存在满足题设，由（1）知，因为，所以两个最值点只能在端点和顶点处取到isK而，所以，解得，所以存在满足题意
