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1、第第 3 3 课时课时 等比数列的前等比数列的前n n项和项和知能目标解读知能目标解读 1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法-错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数 列的前n项和. 2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在 应用时，特别要注意q=1 和q1 这两种情况. 3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题. 重点难点点拨重点难点点拨 重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题. 难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用. 学习方法指导学习方法指导 1.等比数列的前n项
2、和公式 （1）设等比数列an，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为na1 (q=1) Sn= .(q1)qqan 1)1 (1也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界 限是在q=1 处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于 1 还是 不等于 1，如果q可能等于 1，则需分q=1 和q1 进行讨论.（2）等比数列an中，当已知a1,q(q1)，n时，用公式Sn=，当已知a1,q(q1)，qqan 1)1 (1an时，用公式Sn=.qqaan 112.等比数列前n项和公式的推导 除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的
3、方法推导. (1)合比定理法由等比数列的定义知：=q.12 aa23 aa1nn aa当q1 时，=q,即=q.12132nn aaaaaa nnn aSaS 1故Sn=.qqaan 11 qqan 1)1 (1当q=1 时，Sn=na1. (2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)当q1 时，Sn=.qqaan 11 qqan 1)1 (1当q=1 时，Sn=na1. (3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n2) 当n2 时，Sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+qS
4、n-1Sn=a1+q(Sn-an) 即(1-q)Sn=a1(1-qn)当q1 时，有Sn=,qqan 1)1 (1当q=1 时，Sn=na1. 注意： (1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到， 要领会这些技巧. (2)错位相减法适用于an为等差数列，bn为等比数列，求anbn的前n项和. 3.等比数列前n项和公式的应用 （1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时， 这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量. （2）公比q是否为 1 是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1
5、 和q1 的讨 论. 4.等比数列前n项和公式与函数的关系(1)当公比q1 时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此qa 11可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的， 而指数式的系数与常数项互为相反数. 当公比q=1 时，因为a10，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为 0 的一次函数）. (2)当q1 时，数列S1,S2,S3,Sn,的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当 q=1 时，数列S1,S2,S3,Sn,的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点. 知能自主梳理知能自主梳理 1.等比数列前n项和公式 （1）等比数列an的前n项和为Sn,当公比q1 时，Sn=;当 q=1 时，Sn=. (2)推导等比数列前n项和公式的方法是. 2.公式特点 （1）若数列an的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q0,q1，则数列an为 . （2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知 求.答案 1.（1） na1 (2)错位相减法qqan 1)1 (1 qqaan 112.（1）等比数列 （2）三 二
