《12-13学年高二数学：1.2.3等差数列的前n项和2 学案（北师大版必修5）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12-13学年高二数学：1.2.3等差数列的前n项和2 学案（北师大版必修5）（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 3 3 课时课时 等差数列的前等差数列的前n n项和项和思路方法技巧思路方法技巧 命题方向 有关等差数列的基本量的运算 例 1 已知等差数列an中，（1）a1=,d=-,Sn=-15,求n和an;23 21（2）a1=1,an=-512，Sn=-1022,求公差d. 分析 a1,d,n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量表示，五个基 本量a1,d,n,an,Sn中可“知三求二”.解析 (1)Sn=n+（-）=-15，23 2) 1( nn 21整理，得n2-7n-60=0. 解之得n=12 或n=-5(舍去).a12=+ (12-1)（-）=-4.23 21(2)由S
2、n=-1022,2)(1naan 2)5121 ( n解之得n=4. 又由an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d, 解之得d=-171. 说明 等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式 和前n项和公式联立方程（组）求解.这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过 程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用. 变式应用 1 在等差数列an中， （1）已知a6=10,S5=5,求a8和S8; （2）已知a3+a15=40,求S17. 解析 （1）a6=10,S5=5,a1+5d=10 a1=-5 ，解得 . 5a1+10d=5 d=3a8=a6
3、+2d=16,S8=44.2)(881aa (2)a1+a17=a3+a15,S17=340.2)(17171aa 2)(17153aa 24017命题方向 等差数列前n项和的性质 例 2 一个等差数列的前 10 项之和为 100，前 100 项之和为 10，求前 110 项之和. 分析 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d,即可求出S110,或利用等差数列前n项 和的性质求解. 解析 方法一：设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则Sn=na1+d.2) 1( nn10a1+d=100 2910由已知得 100a1+d=10 29910010，整理得d=-,5011代入，得a1=.10
4、01099S110=110a1+d2109110=110+（-）1001099 2109110 5011=110（）110.100111091099故此数列的前 110 项之和为110 方法二：数列S10,S20-S10,S30-S20,，S100-S90,S110-S100成等差数列，设其公差为D，前 10 项和 10S10+D=S100=10D=-22，2910S110-S100=S10+（11-1）D=100+10（-22）=-120.S110=-120+S100=-110. 方法三：设Sn=an2+bn.S10=100,S100=10,102a+10b=100 a=-10011 ， .
5、1002a+100b=10 b=10111Sn=-n2+n.10011 10111S110=-1102+110=-110.10011 10111方法四：S100-S10=a11+a12+a100=.2)(9010011aa 2)(901101aa 又S100-S10=10-100=-90,a1+a110=-2.S110=-110.2)(1101101aa 方法五：在等差数列中，因为点（n, ）共线，nSn所以（10，）,（100，）,（110，）三点共线，1010S 100100S 110110S故101001010010100SS101101011010110SS即9010101100101
6、10110S=10+(-10)=-1110110S 910 101S110=-110. 说明 比较上述五种解法可以看出，利用等差数列前n项和的性质解题，可以大大减少 运算量. 变式应用 2 已知等差数列an的前n项和为Sn,且Sm=70，S2m=110,则S3m . 答案 120 解析 an为等差数列， Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m, 即 2（110-70）70+S3m-110，S3m=120. 命题方向 等差数列前n项和的最值问题 例 3 已知数列an是等差数列，a1=50,d=-0.6. (1)从第几项开始有an0, 由（1）知a
7、840,a85S85S86.所以当n=84 时，Sn有最大值，即S84=5084+(-0.6)=2108.4.28384解法二：Sn=50n+(-0.6)=-0.3n2+50.3n=-0.3（n-）2+.当n取接近于2) 1( nn 6503 1205032的自然数，即n=84 时，Sn达到最大值S84=2108.4.6503说明 求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法： 方法一：根据项的正负来定. 若a10,d0，则数列的所有负数项之和最小.方法二：Sn=na1+d=n2+（a1-）n2) 1( nn 2d 2d=(n+)2-2d dda21dda2)2(2 1=n-（-）2-（-）2.2
8、d 21 da1 2d 21 da1由二次函数的最大、最小值知识及nN N+知，当n取最接近（-）的正整数时，Sn取到21 da1最大值（或最小值） ，值得注意的是最接近（-）的正整数有时有 1 个，有时有 2 个.21 da1变式应用 3 在等差数列an中，a1=25,S17=S9,求Sn的最大值. 解析 解法一：利用前n项和公式和二次函数性质，由S17=S9得2517+ (17-1)d=259+ (9-1)d,解得d=-2,217 29Sn=25n+ (n-1)(-2)=-(n-13) 2+169,2n由二次函数性质，当n=13 时，Sn有最大值 169. 解法二：同解法一先求出d=-2.
9、因为a1=250,an=25-2(n-1)0 n1321由 ，得 ，an+1=25-2n0 n1221所以当n=13 时，Sn有最大值 169. 解法三：同解法一先求出d=-2.由S17=S9，得a10+a11+a17=0，而a10+a17=a11+a16=a12+a15 =a13+a14,故a13+a14=0.因为d=-20,所以a130,a140,故n=13 时，Sn有最大值 169. 解法四：同解法一先求出d=-2.由d=-2，得Sn的图像如图所示（图像上一些孤立点） ，由S17=S9知图像对称轴为n=13,所以当n=13 时，Sn2179取得最大值 169. 探索延拓创新探索延拓创新
10、命题方向 等差数列前n项和在实际问题中的应用 例 4 有 30 根水泥电线杆，要运往 1000 m 远的地方开始安装，在 1000 m 处放一根，以 后每隔 50 m 放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车 的行程共多少？ 分析 这是一道等差数列求和的应用题.对于应用题首先是根据问题给出的已知条件建 立数学模型，然后解此数学问题，最后再回到应用问题作出结论. 解析 解法 1：如图所示示意图，假定 30 根水泥电线杆存放M处.a1=|MA|=1000(m),a2=|MB|=1050(m), a3=|MC|=1100(m),a6=a3+5031250(m),a30=a
11、3+1509（m）. 由于一辆汽车每次只能装 3 根，故每运一次只能到a3,a6,a9,a30这些地方，这样组成公差 为 150 m，首项为 1100 的等差数列，令汽车行程为S，则有 S2(a3+a6+a30) =2(a3+a3+1501a3+1509)2（10a3+1509）2（110006750）29135.5（km）. 答：这辆汽车行程共有 35.5 km. 解法 2（略解）：根据题设和汽车需运送十次，可得一等差数列an,其a1=100,d=150,n=10,则S10=10a1+d=7750(m).2) 110(10所以总共行程为 7750210002035.5（km）. 解法 3（略
12、解）：根据题意和汽车每次走的路程可构成一个等差数列，其中 a1=(1000+502)22200，a2=(1000+505)22500， d=1502300，项数共有 10 项，Sn=10a1+d2) 110(10=1022005930035.5（km）. 说明 有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究，建立数列的数学模型，最 后求出符合实际的答案，一般求解步骤如下： (1)问题中所涉及的数列an有何特征； (2)是求数列的通项还是求数列的前n项和; (3)列出等式（或方程）求解; (4)得到问题的答案. 变式应用 4 为了参加 5000 m 长跑比赛,李强给自己制定了10 天的训练计划：
13、第1 天跑5000 m，以后每天比前一天多跑 400 m，李强 10 天一共要跑多少路程？ 解析 将李强每一天跑的路程记为数列an, 则a1=5000m,公差d=400m.S1010a1+d2) 110(10=1050004540068000（m） 故李强 10 天一共要跑的路程为 68000m. 名师辨误做答名师辨误做答例 5 已知两个等差数列an 、 bn的前n项和分别为Sn、Tn，且 nn TS 27417 nn(nN N+),求.1111 ba误解 由=,nn TS 27417 nn设Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k0. 则a11=S11-S10=(711+1)k-(7
14、10+1)k=7k,b11=T11-T10=(411+27)k-(410+27)k=4k.=.1111 ba kk 47 47辨析 错误的原因是“设Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k0”.这种设法虽然可以使=nn TS成立，但是相对于变量n来说，k是常数，故Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k是n的一次27417 nn函数，与公差不为零的等差数列的前n项和为n的二次函数不符合.正解 由于等差数列an的前n项和Snan2+bn=an(n+),ab设Sn=(7n+1)kn,Tn=(4n+27)kn, a11=S11-S10=(711+1)11k-(710+1)10k148k，b11=T11-T10=(411+27)11k-(410+27)10k=111k.=.1111 ba kk 111148 34
