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1、中考数学专题讲座中考数学专题讲座 几何与函数问题几何与函数问题【知识纵横知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。 【典型例题典型例题】【例例 1 1】 （上海市）（上海市）已知，（如图） 是24ABAD，90DABADBCE射线上的动点（点与点不重合） ，是线段的中点BCEBMDE（1）设，的面积为，求关于的函数解析
2、式，并写出函数的定义域；BExABMyyx（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；ABDEBE（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，BDAMNAND，BME求线段的长BE【思路点拨】 （1）取中点，联结；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨ABHMH论。【例例 2 2】 （山东青岛）（山东青岛）已知：如图（1） ，在中，RtACB90C4cmAC ，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为 1cm/s；点由出发沿3cmBC PBBAAQA方向向点匀速运动，速度为 2cm/s；连接若设运动的时间为（） ，ACCPQ(s)t02t 解答下列问题：（1）当 为何值时
3、，？tPQBCBADMECBADC 备用图（2）设的面积为（） ，求与 之间的函数关系式；AQPy2cmyt（3）是否存在某一时刻 ，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，tPQRtACB求出此时 的值；若不存在，说明理由；t（4）如图（2） ，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在PCPQCQCPQP C某一时刻 ，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理tPQP C由图（1） 图（2）【思路点拨】 （1）设 BP 为t，则AQ = 2t，证APQ ABC；（2）过点P作PHAC于H（3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PMAC于，PNBC于N，若四边形PQP
4、C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。【例例 3】3】 （山东德州）（山东德州）如图（1）,在ABC中，A90，AB4，AC3，M是AB上的动点（不与A，B重合） ，过M点作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，并在O内作内接矩形AMPN令AMx （1）用含x的代数式表示NP的面积S； （2）当x为何值时，O与直线BC相切？ （3）在动点M的运动过程中，记NP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函AQCPBAQCPBP数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？图（1） 图（2） 图（3）【思路点拨】 （1）证AMN ABC；（2）设直线BC与O相切于点D，连结AO，
5、OD，先求出 OD（用x的代数式表示） ，再过M点作MQBC 于Q，证BMQBCA；（3）先找到图形娈化的分界点，2。然后 分两种情况讨论求的最大值： xy当 02 时， 当 24 时。xx【学力训练学力训练】1、 （山东威海）（山东威海） 如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB7，CD1，ADBC5点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MNAB，MEAB，NFAB，垂足分别为E，F（1）求梯形ABCD的面积； （2）求四边形MEFN面积的最大值 （3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由 2、 （浙江温州市）（浙江温州市）如图，在中，分RtA
6、BC90A6AB 8AC DE，别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过ABAC，PDDEPPQBCQ点作交于，当点与点重合时，点停止运动设，QQRBAACRQCPBQxQRyABCMNDOABCMNPOABCMNPOCDABEFNMABCDER PH Q（1）求点到的距离的长；DBCDH（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ；yx（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，PPQR请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由x3、 （湖南郴州）（湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）
7、过E作直线AB的垂线，垂足为F FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF（1） 求证：BEF CEG（2） 当点E在线段BC上运动时，BEF和CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设BEx，DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？ 4、 （浙江台州）（浙江台州）如图，在矩形中，点是边上的ABCD9AB 3 3AD PBC动点（点不与点，点重合） ，过点作直线，交边于点，再把PBCPPQBDCDQ沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形PQCPQCRCPxPQR重叠部分的面积为ABCDy（1）求的度数；CQP（2）
8、当取何值时，点落在矩形的边上？xRABCDAB（3）求与之间的函数关系式；yx当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？x7 27DQCBP RABADC（备用图1）BADC（备用图2）几何与函数问题的参考答案几何与函数问题的参考答案M BDCEFGxA【典型例题典型例题】【例例 1 1】 （上海市）（上海市） （1）取中点，联结，ABHMH为的中点，MDEMHBE1()2MHBEAD又，ABBEMHAB，得；1 2ABMSAB MHA12(0)2yxx（2）由已知得22(4)2DEx以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，ABDE，即11 22MHABDE2211(4)2(4)222xx解得
9、，即线段的长为；4 3x BE4 3（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，AND，BME又易证得DAMEBM 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：；ADNBEM ADBBME 当时，ADNBEM ADBEADNDBE DBEBEM ，易得得；DBDE2BEAD8BE 当时，ADBBME ADBEADBDBE 又，DBEBME BEDMEB BEDMEB，即，得DEBE BEEM2BEEM DEA2222212(4)2(4)2xxxA解得，（舍去） 即线段的长为 212x 210x BE综上所述，所求线段的长为 8 或 2BE【例例 2 2】 （山东青岛）（山东青岛） （1）在 RtABC中，
10、522ACBCAB由题意知：AP = 5t，AQ = 2t，图BAQPCH若PQBC，则APQ ABC， ACAQ ABAP 55 42tt710t（2）过点P作PHAC于HAPH ABC，BCPH ABAP3PH 55ttPH533 ttttPHAQy353)533(221 212（3）若PQ把ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ， 解得：)24(32)5(tttt1t若PQ把ABC面积平分，则， 即3t=3ABCAPQSS212 53t t=1 代入上面方程不成立， 不存在这一时刻t，使线段PQ把 RtACB的周长和面积同时平分（4）过点P作PMAC于，PNBC于N，若四边形PQ
11、P C是菱形，那么PQPCPMAC于M，QM=CMPNBC于N，易知PBNABC， ，ABBP ACPN54tPN， ，54tPN 54tCMQM，解得：4254 54ttt910t当时，四边形PQP C 是菱形 910t此时， ，37 533tPM98 54tCM在 RtPMC中，9505 8164 94922CMPMPCP BAQPC图MN菱形PQP C边长为9505【例例 3】3】 （山东德州）（山东德州） （1）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC ，即AMAN ABAC43xAN ANx 43 = （04） S21 33 2 48MNPAMNSSx xxx（2）如图（2）
12、，设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN21在 RtABC中，BC =522ABAC由（1）知 AMN ABC ，即 AMMN ABBC45xMN ，5 4MNx 过M点作MQBC 于Q，则 5 8ODx5 8MQODx在 RtBMQ与 RtBCA中，B是公共角， BMQBCA BMQM BCAC ， 55258 324x BMx 25424ABBMMAxx x 4996当x时，O与直线BC相切 4996（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点ABCMND图（ 2）OQABCMNP图 （1）O MNBC， AMN=B，AOMAPC AM
13、O ABP AMMB2 1 2AMAO ABAP故以下分两种情况讨论： 当 02 时， x2 83xSyPMN 当2 时， x2332.82y大大 当 24 时，设PM，PN分别交BC于E，Fx 四边形AMPN是矩形， PNAM，PNAMx 又 MNBC， 四边形MBFN是平行四边形 FNBM4x 424PFxxx又PEF ACB 2 PEFABCSPF ABS2322PEFSxMNPPEFySS222339266828xxxx 当 24 时， x29668yxx 298283x 当时，满足 24， 8 3x x2y大大综上所述，当时，值最大，最大值是 28 3x y【例例 3】 （山东德州）
14、（山东德州） （1）MNBC，AMN=B，ANMC ABCMNP图 （ 4）OEFABCMNP 图 （3）O AMN ABC ，即AMAN ABAC43xAN ANx 43 = （04） S21 33 2 48MNPAMNSSx xxx（2）如图（2） ，设直线 BC 与O 相切于点 D，连结 AO，OD，则 AO =OD =MN21在 RtABC 中，BC =522ABAC由（1）知 AMN ABC ，即 AMMN ABBC45xMN ，5 4MNx 过 M 点作 MQBC 于 Q，则 5 8ODx5 8MQODx在 RtBMQ 与 RtBCA 中，B 是公共角， BMQBCA BMQM BCAC
