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1、构造函数一、利用单调性解题1.实数与满足，求3235132355 3323233232323235333121121( )235135323553532(1)(1)(1)( )11 2xxxxxxxxxf ttttffff xR 解：构造函数，显然为奇函数。由由于在上为单调增函数此题是俄罗斯竞赛题，难点在于是否注意到恒等式，332353121xxxxx并且应用其单调性构造函数求解。在 2004 年被作为广西“希望杯”数学竞赛的初赛题中的 填空题。2.设，满足，求。xyR，31199711xx 31199711yyxy3( )1997( ) (1)(1)(1)( )11 2f zzzf z f
2、xf yfyf zRxy xy 解：令，为奇函数由于在上单调，此题为 1997 年的全国高中数学联合联赛试题，只要脑子里有构造函数的概念，仔细观察题 目中所给式子的结构便可以得出解答。难度不是很大。3.若，求证：2525log 3log 3log 3log 3xxyy0xy 25( )log 3log 3( )( )()0ttf tf tf xfyxyxy Q证明：令，为增函数，即 此题为 1998 年的全国高中数学联合竞赛试题，构造一个函数，利用增减性进行解答。4.已知满足：，求 xyR，55340xyxxy4xy 55555340330( )( )(3)( )0 (3)( )()340xy
3、xxyxyxxyxf tttf tfxyf x fxyf xfxxyxxy Q解：令，为单调奇函数。有，即从题目的所求出发，考虑怎样构造函数。又是一道利用函数的单调性解答的题目。 4xy5.已知，且，求4 4xy ，aR33sin20 14sin202xxayyacos2xy3 3333sin20sin2 14sin208sin222 ( )sin ( )(2 )( 2 ) 20cos21xxaxxayyayyaf ttt f xfyfy xyxy Q解：构造函数，函数为单调增函数需要先将已知式变形，观察之后再构造函数。 二、解方程1.解方程 4 1291loglog2xxx2 912221l
4、og92 log93931231311( )( )4444 1( )(1)11( )(1)111( )11( )1998181ttttttttttttxxtf tf tRtf tftf tfttf ttf txx 解：令，则原方程化为，即，构造函数，在上递减当时，当时，当或时，而时，此时经检验，是原方程的解。 解有关对数的方程，一般先换元。当方程逐步整理化简后，得到一个较为简单的方程。虽 然方程的解一目了然，但是不太便于说明的时候，一般利用构造函数，根据函数的单调性 做出说明。2.实数满足方程，求x2log2315xxx5 25552 555log2312312223122324( )2222
5、 0( )(1)310( )(1)3100( )310( )3155ttttttt tt tttxxttf ttf tftf tfttf ttf ttx解：令，则原方程化为构造函数为减函数当时，；当时，当或时，而时，此时经检验，是原方程的解。3.已知 ，求解关于的方程nNx 22114nnnxx22221122221112211( )22 111101012211( )12211110( )122111022nnnnnnnxxxxf xxxxxxf xxxxf xxxx 解：原方程可以变形为令当时，当时，当时，1( )11( )11n f xxf xx ，当时，是原方程的解 三、证明不等式1.
6、已知，求证：0a 2bac22bbacabbac21222122222( )2 0 2 (1)20( )110f xaxbxc abac fabcf xxxbbacbbacxxaabbacbbac aa abbacabbac QQQ证明：令 ，画出的图象，可以观察得到方程的两根为，此题的常规解法是分析法证明，但是通过观察待证式，结构有些类似于一元二次方程的求 根公式，仔细揣摩，并且构造函数。这也不失为一种很好的方法。2.已知，求证：11ab ab1a 1b 1212( )11 10( )1 110110()1()11(0)111111xabf xababf xab xabxabf xf xfa
7、bab abab Q证明：令，由，知，故为增函数。令，即构造一次函数构造一次函数3.设，求证：01xyz，1111xyyzzx ( )1101( )(0)1110(1)11001( )01101111f xyz xyzzyxyzf xxfyzyzyzfyzyzyzyzxf xyz xyzzyxyyzzx 证明：设，把，看作常数，则是关于的一次函数故对于，都有，即构造二项平方和函数法构造二项平方和函数法 222 1122( ).( )00nnf xa xba xba xbf xV，由，得4.已知，设，求证：abcR，1abc323232tabc6t 222( )321321321( )0 .03
8、 36f xaxbxcxf xt Q V证明：令得到5.已知，求证：abcR，1abc2221 31 31 36abc 222222222222222222222222222222 222( )1 311 311 313321 31 31 33( )0041 31 31 34 33301 31 31 399333f xa xb xc xabcxabcxf xabcabcabcabcabcabcabcabc QV证明：令，即又，222222221 31 31 31 361 31 31 36abcabc即6.设，且，求证：xyR，z1xyyzzx1 3xyz xyz 222222222222222
9、22222222( )231110024 30f tx yy zz xtxyyzzx txytyztzxtx yy zz xx yy zz x QV证明：构造函数，1 3 1 201 3xyz xyzxyz xyz即故7.已知，求证：abcR，2222abcabc bcacab222 222222222( )22( )0044202abcf xxabc xabcbccaababcxbcxacxabbcacababcf xabcabcbccaabaabcRabc QV证明：构造函数，得：又，222222bc bccaababcabc bccaab 补充：设，求证：01xyz，1111xyyzzx321( )(0)00(1)010101xyzf xxpxqxrfxyzrfpqrpqrpq QQ证明：构造一个首次项为，并且以，为根的三次函数记，那么而原不等式等价于，故不等式成立
