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1、第二章：一元函数导数和微分概念计算等 1.导数的定义 如果函数 y=f（x）在 x0 的某邻域有定义如极限存在，则称 f(x)在 x0 处可导，并称这个极限f(x)在 x0 处的导数（或微商） ，记作 f(x0),y(x0)或。令 x=x0+ 2.设函数 y=f（x）在 x0 处存在如下单侧极限则分别称 f(x)在 x=x0 右左可导，上述极限分别称为 f(x)在 x=x0 的右左导数。 3.几何意思 导数为曲线在点的斜率。 4.力学原理 在力学原理上称为时刻速度。 5.如果 f(x)在 x0 可导，则 f(x)在 x0 左右可导均存在且相等即6.以下是可微的定义 定义如下：设函数 y=f(x
2、),当自变量 x=x0 有增量时，若存在与无关的常数 A(x0),使得函数的增量可表示为则称 f(x)在点 x=x0 处可微，称为 f(x)在点 x=x0 处的微分，记为其中是时比高阶的无穷小量。7.f(x)在 x=x0 连续不能推出在 x0 点可微。8. f(x)可导，则称 f(x)在开区间（a,b）内可导，若 f(x)在（a,b）内可导，且 f(x)在 x=a,出右导数，在 x=b 出左导数，则称在闭区间内可导。9.导函数（一阶导数）记为。10若函数的导数仍是 x 的函数，把导函数 y=f(x)的导数，叫做二阶导数。记为：函数的 n 阶导数记为二阶导数的力学原理：二阶导数是加速度。 11.
3、奇偶函数与周期函数的关系 F(x)在 I 上可导，若 f(x)在 I 上为奇函数可推出导函数为偶函数 若再 I 上为偶函数则导函数为奇函数。 原函数为周期函数则导函数也是周期函数。 12.（45）页判断下列结论正确性 1）若函数 f(x),g(x)均在 x0 处可导，且 f(x0)=g(x0),则 f(x0)=g(x0); 不正确，原因是函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有 关。(见定义)13.若时 f(x)=g(x),则两个函数在 x=x0 处有相同的可导性。不正确，原因是当 x=0 时不连续。14.若存在 x0 的一个邻域，则 f(x)与 g(x)在 x0 处有
4、相同的可导性，若可导，则 f(x0)=g(x0);正确。 15无穷小题目比较1）设 f(x)在 x0 可微，f(x0) f(x)在 x=x0 出的微分与比较是（）无穷小 解：是同阶的无穷小。按定义可有小阅读（36 页）二、按定义求导数及其应用的情形 1.按定义求一元函数 y=f(x)在某点 x=x0 处的导数，就是求 0/0 型的极限，即求注意当时，若。适用用定义求导数的几种情形除了某些基本初等函数外还有如等均可定义求出，而其他 初等函数可有这些导数公式求出。情形二、求导数则不能用的情形，如设在 x=a 处连续，试问f（x）在 x=a 处是否可导？因为不知道数的定义考察极限情形三、利用导数定义
5、求极限1） 设 f(x)存在，由数列极限与函数极限的关系还可得当 看如下例题：1） 设要看出 f(a)=b 用于用函数定义求导数。 基本初等函数求导表和求导法则二导数和微分的四则运算法则看如下例题：2） 幂指函数的求导法则2.对数求导法3.反函数求导法4.有参数方程确定的函数的求导法 如以下例题：5.变限积分的求导法6.求下题看变限积分的定义求7.隐函数微分法 隐函数的求导方法如以下例题：注意 y 是 x 的函数，将方程两端对 x 求导得再对 x 求导得三、分段函数求导法 只有一个分界点 x=x0 的分段函数有如下三种类型：这里称 x=x0 为分界点（连接点） 。 讨论分段函数求导法的关键点是如何求处分界点处的导数。 四、按定义求分界点处的导数或左右导数例题（1）设此题属于（注）的类型五、按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数 在分段函数求导的例题如下：
