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1、1数列求通项的常用方法（一） 考点一、型或型或型：等差数列型：等差数列daann1112nnnaaa例 1数列满足，（） ，则_xn1x132x2n1n1nx2 x1 x12n nx例 2已知：等差数列，是其前 n 项的和，若设，为数列的前 nanS7157,75,SSn nSbnnT nbn 项的和，求和。nbnT考点二、型：迭代法、累加法、连加法型：迭代法、累加法、连加法)(1nfaann常用公式：121321()()()nnnaaaaaaaa例 3已知，则_1111,21nnaaann nna例 4请利用，求和：332(1)331nnnn222123n考点三、型或型或型：等比数列型：等比
2、数列nnpaa1112 nnnaaa例 5数列中，数列的的通项满足关系式na31a021nnaanbnb，则_n nnba) 1(*)(Nnnb2例 6在等差数列中，公差的等比中项，已知数列成等na713, 0aaad与是, 2131nkkkaaaaa比数列，求数列的通项nk.nk考点四、型：累乘法。型：累乘法。常用公式：nnanfa)(132 1 121n n naaaaaaaa例 7已知数列的首项，又满足则=_ na13a 13,n nnaana例 8已知：数列，且，求通项公式。 na11a 0na 22 11(1)0()nnnnnanaaanN na考点五、型：构造等比法型：构造等比法q
3、paann1常用待定系数法可得公式：令1()nnap a1()11nnqqap app例 9已知,求23, 111nnaaa*)(Nnna例 10已知数列中，=1，且对任意的正整数 n 有：1，总成等差数列 ，则= na1ana1nana3数列求通项的常用方法（二） 考点六、关于利用 求数列的通项。 （注意：不能忘记讨论的单独验证。 ）11(1)(2)n nnS naSSn1n例 1已知数列前项和，则_.nan1322nnSnna例 2已知数列的前项和为（为不为零的实数） ，则此数列 （ ）n1n nSaaA、一定是等差数列 B、一定是等比数列 C、或是等差数列或是等比数列 D、既不可能是等差
4、数列，也不可能是等比数列例 3数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，n=1，2，3，求11 3nnaS（I）a2，a3，a4的值及数列an的通项公式；（II）的值.2462naaaa例 4数列的前项和为，已知 nannS2* 11,1 ,2nnaSn an nnN（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；nS1nS2n nSn（）求数列的通项公式 na4考点七、关于与混合型的通项问题，一般是利用赋值，造一个新的恒等式做差（或作商）解决。 （注nan意：不能忘记讨论的单独验证。 ）1n例 5已知数列满足：，则_ na12211125222nnaaanna例 6已知数列中， na11a *
5、 1122(.)nnnaaaanN（1）求； （2）求数列的通项；234,a a a nana考点八、已知数列前项之积，一般可求，则（注意：不能忘记讨论）. nannT1nTna1nn TT1n例 7数列中，对所有的都有，则_.na, 11a2n2 321naaaanna考点九、对于型：构造等比法。常用思维：两边取对数构成新的等比数列。p nnaa1例 8数列中， ，则_ na3 11, 2nnaaana5数列求通项的常用方法（三）考点十、对于型：构造等差数列。常用思维：两边同除以。11nnnnapaaa1nna a例 1数列中，=1，则_ na1a0211nnnnaaaana例 2已知数列满
6、足=1，求. 1a11nnnnaaa ana考点十一、对于型：构造等差数列。常用思维：两边同取倒数。11n n naaqa例 3已知，数列的通项满足条件，则3( )3xf xx nana1(),(2)nnaf an11 2a _na例 4已知数列满足，则=_ na11a231 nn naaana6考点十二、对于型：构造等差数列。常用思维：两边同除以。n nnppaa1np例 5已知数列满足=1，则_ na1an nnaa331na考点十三、双数列型。常用思维：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加累加、累乘累乘、化归化归等方 法求解。例 6.已知数列 na中，11a；数列 nb中，01b
7、。当2n时，)2(3111nnnbaa,)2(3111nnnbab，求na,nb.考点十四、递推公式为nnnqapaa12（其中 p，q 均为常数） 。常用思维：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中 s，t 满足 qstpts，再应用前面所讲方法求解。例 7.已知数列 na中，11a,22a,nnnaaa31 3212，求na。7不动点法探究递推数列的通项公式 定理 1 若数列满足，且是函数的不动点，则 nx 1(0,1 )nnxaxb a( )f xaxb1()nnxa x例 1 已知数列满足，首项，求数列的通项公式. nx137nnxx11 2x nx定理 2 若数列满
8、足，且是函数的 nx2 2 12(0)4nnnbbxaxbxaa2 22( )4bbf xaxbxa最小不动点，则2 1()nnxa x8例 2 已知数列满足，首项，求数列的通项公式. nx2 1241nnnxxx11x nx定理 3 若数列满足，且函数 nx23 32 12(0)3273nnnnbbbxaxbxxaaaa，则必存在函数的一个不动点，使得23 32 2( )3273bbbf xaxbxxaaa( )f x3 1()nnxa x例 3 已知数列满足，首项，求数列的通项公式. nx32 1312324nnnnxxxx15 2x nx9定理 4 数列满足，函数，且首项 nx1(0,0
9、)n n naxbxcadbccxd( )axbf xcxd.11()xf x（1）若有两个相异不动点、，则；( )f x11nnnnxxac xacx （2）若只有一个不动点，且，则( )f xad1121nnc xadx例 4 已知数列满足，首项，求数列的通项公式. nx172 4n n nxxx13x nx例 5 已知数列满足，首项，求数列的通项公式. nx131 47n n nxxx11 2x nx10定理 5 数列满足，且、是函数，的两个相异 nx21(0)2n n naxcxaaxf2 ( )(0)2axcf xaaxf不动点，则211nnnnxx xx 例 6 已知数列满足，首项，求数列的通项公式 nx2132 65n n nxxx119 6x nx
