建立模型找规律

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1、W1建立模型找规律建立模型找规律邢文生同学们，你们觉得握手、比赛和机票有关系吗？也许有同学会认为这三者之间根本就 没有共同点，怎么可能扯到一起呢？现在我们来共同解决下面的问题，通过解决下面的问 题大家就会发现它们之间的数学关系。 问题 1：新学期开始了，全班 45 名同学又见面了，他们每两人要握一次手，一共要握 手多少次？ 问题 2：爸爸带小明去看一场足球比赛，途中爸爸告诉小明，这次足球赛共有 16 支球 队参加，首轮采用单循环制。小明问：“什么是单循环制？”爸爸说：“就是这 16 支球队 中的每两支球队都要踢一场啊！” “噢，那得踢多少场呢？”小明马上提出了这样的问题， 爸爸说：“这就需要你

2、自己动脑筋算一算了。 ”你知道这次足球赛首轮要进行多少场比赛吗？这两个生活中的问题如何解决呢？我们还是把它们抽象成数学问题，建立相应的数学 模型来解决吧！ 模型：如图 1，点 M、C、N 都在线段 AB 上，图中共有几条线段？请你将它们写出来。图 1 思路分析：以 A 为端点向右数，有 AM、AC、AN、AB 共 4 条线段；以 M 为端点向 右数，有 MC、MN、MB 共 3 条线段；以 C 为端点向右数，有 CN、CB 共 2 条线段；以 N 为端点向右数，只有 NB 这 1 条线段，因此，图 1 中共有 10 条线段。 这个模型看似简单，实际上包含着一个很实用的解题程序，在找线段的过程中

3、我们必 须朝着一个方向一直找下去，不能回头，并且不能重复或遗漏。 这个模型有下面的特征： （1）朝着一个方向数，从各个端点数得的线段条数依次递减； （2）若直线上有 n 个点，则这个递减规律为：，2，1。运1n 2n 3n 用求和公式，很容易求得线段的总条数为。 21nn 211n1n利用这个模型可以解决很多与之类似的问题，如下面两例。 例 1 2 条直线相交，只有 1 个交点，3 条直线相交，最多有几个交点？4 条直线呢？ 你能发现什么规律？ 解析：根据前面的模型我们不难发现，若 3 条直线相交（设这 3 条直线分别是 a、b、c） ，我们先看直线 a，直线 a 与直线 b，直线 a 与直线

4、 c 均有 1 个交点；再看直线 b，直线 b 与直线 c 有 1 个交点。这样最多有 3 个交点。同样可分析出 4 条直线相交时，交 点最多应有 3+2+1=6（个） ，继续找下去，就不难得出 n 条直线相交时，交点最多有个。 21nn例 2 仔细观察图 2，图中共有几个小于的角？你能不重复也不遗漏地数出来吗？180W2图 2 解析：我们找某一条射线所在的角时，最好只沿着顺时针方向找或只沿着逆时针方向 找。我们不妨沿顺时针方向找，以 OA 为边的角共有 3 个，以 OB 为边的角有 2 个，以 OC为边的角有 1 个，所以图 2 中符合要求的角的个数为 3+2+1=。通过探究可以62144知

5、道，从一个端点出发的 n 条不在同一条直线上的射线，它们所能确定的小于的角的180个数为。 21nn这些题目都已经解决，现在我们再回过头来看看前面的两个问题与模型有哪些共同之 处。 问题 1 是每两个人都要握手一次，问题 2 是每两支球队都要进行一场比赛。对于问题 1，我们可以将这 45 个人想象成分布在同一条直线上的 45 个点，这样问题就与前面的模型 相似了。问题 2 与此类似。 其实，无论是在数学中还是在生活中，类似的问题还有很多。同学们不妨自己试着解 决这些问题。 问题 3：平面内有 m 个点（任意 3 个点都不在同一条直线上） ，过每两个点画一条直线， 最多可以画多少条直线？ 问题

6、4：有一天，小华邀请朋友到他家喝酒，连小华在内一共有 10 人。小华提议在场 的人每两人都碰一次杯子，一共要碰多少次杯子？ 问题 5：北京、上海、天津、纽约等 21 个大城市互相通航，要准备多少种机票？这 5 个问题的答案分别为 990 次、120 场、条、45 次，420 种。 21mm这些问题都解决了，再回顾一下，握手、比赛、机票和线段的条数、直线交点的个数 是有关系的吧？其实，数学和人类的生活是分不开的，数学源于生活，反过来又服条于生 活，要探索数学的奥秘，就要热爱生活，并善于从生活中发现问题，敢于提出问题，努力 解决问题，并不断总结规律。年级初中学科数学版本期数内容标题建立模型找规律分类索引号G.622.46分类索引描述辅导与自学主题词建立模型找规律栏目名称 学法指导供稿老师审稿老师录入赵真真一校林卉二校审核