《有限域及其应用4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有限域及其应用4（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,有限域及其应用 第四讲：基底,基底,基和多项式基 对偶基 自对偶基 正规基,基和多项式基,设q是一个素数的幂、n是一个正整数，Fqn是一个qn元有限域、Fq是它的一个q元子域。我们知道，Fqn构成Fq上一个向量空间，并且dimFqFqn=n；若以1, 2, , n为其一个基底，那么F均可唯一地表示成如下形式： =x11+x22+ xnn，其中x1, x2, , xnFq。 称(x1, x2, , xn)为在基底1, 2, , n下的坐标。对于Fq上任意一个nn非奇异矩阵(aij)1i,jn，若 j= a1j1+a2j2+anjn, j=1,2, ,n,基和多项式基,则1, 2, , n也是F
2、qn在Fq上一个基底，且坐标之间的变换公式为：其中，(x1, x2, , xn)与(x1, x2, , xn)为Fqn中一个元素分别在基1, 2, , n和1, 2, , n下的坐标。,基和多项式基,下面我们给出Fqn的n个元素构成Fqn在Fq上一个基底的一些判别准则。为此，设1, 2, , nFqn，把行列式称为元素1, 2, , n的判别式，记为 ，如果从上下文中Fqn与Fq清楚，则简记之为(1, 2, , n)。,基和多项式基,Thm1. 1, 2, , n是Fqn在Fq上一个基底，当且仅当(1, 2, , n)0。 证明. ：假定 x1, x2, , xnFq， x1Tr(1j)+x2
3、Tr(2j)+xnTr(nj)=0， 对一切j=1, 2, , n。若以=x11+x22+xnn，则Tr(j) =0，对一切j=1, 2, , n。对Fqn，若写成=a11+a22+ +ann (a1, a2, , anFq)，则Tr()=0；若0，则用-1代替即得Tr()=0，Fqn。这与Tr: FqnFq为一个满射矛盾。因此，=0，从而x1=x2=xn=0。,基和多项式基,：假定 x1, x2, , xnFq， x11+x22+xnn=0； 那么，x11j+x22j+xnnj=0，对一切j=1, 2, , n。应用迹映射，我们获得 x1Tr(1j)+x2Tr(2j)+xnTr(nj)=0，
4、 对一切j=1, 2, , n。这一关于x1, x2, , xn的齐次线性方程组的系数行列式为(1, 2, , n)0，因此，必有x1=x2= =xn=0。Cor2. 1, 2, , n是Fqn在Fq上一个基底，当且仅当det(jqi-1)1i,jn0。,基和多项式基,下面研究利用基进行有限域的代数运算。设1, 2, , n是Fqn在Fq上一个基底。对于, Fqn，利用前述基底表达它们如下： =b11+b22+bnn，其中b1, b2, , bnFq； =c11+c22+cnn，其中c1, c2, , cnFq 。 那么，加减法是容易的： =(b1c1)1+(b2c2)2+(bncn)n； 对
5、于乘法，我们有,基和多项式基,我们可以表达ij为 ij=ij11+ij22+ijnn，其中ij1, ij2, , ijnFq 于是，因此，我们需要首先计算n3个常数ijk (1i, j, kn)；当然，我们希望有某些基，相应的上述n3个常数容易计算。若选择Fqn在Fq上是n次的，则1, , 2, , n-1是Fqn,基和多项式基,在Fq上的一个基底，我们称之为一个多项式基；对这样一个基底，计算满足之ijk，显然其中有一些值为零。因此，利用一个多项式基计算乘法较利用一般的基有优势。通常我们如下更容易地进行乘法：对于=b0+b1+b22+bn-1n-1 (b0,b1,bn-1Fq)与=c0+c1+
6、c22 +cn-1n-1 (c0,c1,cn-1Fq)，若以 b(x)=b0+b1x+b2x2+bn-1xn-1 c(x)=c0+c1x+c2x2+cn-1xn-1 则=b()，=c()。b(x)c(x)除以m(x)，我们得到,基和多项式基,b(x)c(x)=q(x)m(x)+r(x) 其中q(x), r(x)Fqx、且degr(x)degm(x)；以代替x即得 =b()c()=r()。 设0，为计算-1，我们注意到gcd(b(x), m(x)=1；对b(x)与m(x)执行扩展Euclidean算法，我们获得 g(x)b(x)+h(x)m(x)=1 其中g(x), h(x)Fqx、deg g(
7、x)degm(x)deg h(x)1、且S=(sij)1i,jn。若sii0（对某1in），则必要时可以交换第1行与第i行、同时交换第1列与第i列（这是S的一个合同变换），我们可以假定s110。写其中u是一个(n-1)-维行向量、又S1是一个(n-1)(n-1) 对称矩阵。那么，,自对偶基,应用定理17(i)，Fq*=Fq*2。于是，| s11-1/2Fq*, (s11-1/2)2= s11-1；这样一来，令T1=S1+s11-1utu，由S是一个非奇异对称矩阵知，T1亦然。设T1=(tij)2i,jn，为完成引理的证明，只须说明，合同变换可使T1的对角线上有一个元素非零。事实上，如果T1的对
8、角线上所有元素均为零，那么必n3、且在T1的非对角线上存在一个非零元。设tij0，其中2ijn。先交换第1行,自对偶基,与第i行、同时交换第1列与第i列，再交换第2行与第j行、同时交换第2列与第j列，由此可见S合同于对称矩阵其中t230。第1行的t23倍加到第2行、同时第1列的t23倍加到第2列，我们得到,自对偶基,第3行加到第1行、同时第3列加到第1列，得 。最后，第1行的t3k倍加到第k行、同时第1列的t3k倍加到第k列，对于k=4,5,n，我们得到,自对偶基,得所欲证。Thm7. 若q为2的一个幂，则存在一个Fqn在Fq上的自对偶基。,自对偶基,证明. 设1, 2, , n是Fqn在Fq上一个基底，又 T=(Tr(ij)1i,jn，那么，T是Fq上一个nn非奇异对称矩阵。如果T的对角线上所有元素均为零，即Tr(12)=Tr(22)=Tr(n2)=0，则Tr(1)= Tr(2)=Tr(n)=0，从而FqnTr()=0，这与Tr: Fqn Fq为满射矛盾。根据引理6，Fq上一个nn非奇异矩阵P，PtTP =In。若以P=(pij)1i,jn，又定义那么，1, 2, , n也是Fqn在Fq上一个基底。令,
