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1、第一节 概率基础,一. 随机事件及其概率 二. 概率的性质与运算法则,随机事件的几个基本概念,试 验,在相同条件下，对事物或现象所进行的观察 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 试验具有以下特点 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果,事件的概念,事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合) 例如：掷一枚骰子出现的点数为3 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数 必然事件：每次试验一定出现的事件，用（读音：omega）表示 例如：掷一枚骰子出现的
2、点数小于7 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用(读音：phi）表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6,事件与样本空间,基本事件 一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数 样本空间 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，1,2,3,4,5,6 在投掷硬币的试验中，正面，反面,事件的关系和运算 （事件的包含）, 若事件A发生必然导致事件B发生， 则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记作或 A B或 B A,事件的关系和运算 （事件的并或和）, 事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为事件A与事件B 的并。它是由属于事件A或事件B的所有的样本点组成
3、的集合，记为AB或A+B,A+B意味着事件A发生或事件B发生或二者都发生,事件的关系和运算 （事件的交或积）, 事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合，记为BA 或AB,事件的关系和运算 （互斥事件）, 事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不发生， 则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事件是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要条件是事件A与事件B没有公共的样本点,事件的关系和运算 （事件的逆）, 一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是整个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。它是由样本空间中所有不属于事件A
4、的样本点所组成的集合，记为A,事件的关系和运算 （事件的差）, 事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件B的那些样本点构成的集合，记为A-B,事件的关系和运算 （事件的性质）, 设A、B、C为三个事件，则有 交换律：AB=BA AB=BA 结合律：A(BC)=(AB)C A(BC) =(AB) C 分配律：A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC),事件的概率,事件的概率,事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义,事
5、件的概率,例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率 稳定在1/2左右,概率的古典定义, 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数 m 与样本空间中所包含的基本事件个数 n 的比值，记为,概率的古典定义 （实例）,【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从该公司中随机抽取1人，问：（1）该职工为男性的概率（2）该职工为炼钢厂职工的概率,概率的古典定义 （计算结果）,解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。
6、则,(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢厂全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则,概率的统计定义, 在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为,概率的统计定义 （实例）,【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试
7、验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有,主观概率定义,对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验人为确定 概率是一个决策者对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断 例如，我认为2009年的中国股市60%是一个盘整年。,概率的性质与运算法则,概率的性质,非负性 对任意事件A，有 0 P 1 规范性 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P ( ) = 1； P ( ) = 0 可加性 若A与B互斥，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有 P ( A1A2 An) = P ( A
8、1 ) + P (A2 ) + + P (An ),概率的加法法则, 法则一 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 事件A1，A2，An两两互斥，则有P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),概率的加法法则 （实例）,【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率
9、为,概率的加法法则, 法则二对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ),概率的加法法则 （实例）,【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。解：设A读甲报纸，B读乙报纸，C至少读一种报纸。则P ( C ) =P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB )=0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28,条件概率与独立事件,条件概率, 在事件B已经发生的条件
10、下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为,条件概率的图示,概率的乘法公式,用来计算两事件交的概率 以条件概率的定义为基础 设A、B为两个事件，若P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A),概率的乘法公式 （实例）,【例】设有1000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？解：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率为P(A1A2),事件的独立性,一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立 若事件A与B独立，则P(B|A)=P
11、(B)， P(A|B)=P(A) 此时概率的乘法公式可简化为P(AB)=P(B)P(B) 推广到n个独立事件，有P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2) P(An),事件的独立性 （实例）,【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的概率解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件， A3为丙机床需要看管的事件，依题意有 (1) P(A1A2A3)= P(A1)
12、P(A2) P(A3)=0.90.80.85=0.612(2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)= 0.90.8(1-0.85)=0.108,全概公式, 设事件A1，A2，An 两两互斥， A1+A2+ An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组），且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则对任意事件B，有,我们把事件A1，A2，An 看作是引起事件B发生的所有可能原因，事件B 能且只能在原有A1，A2，An 之一发生的条件下发生，求事件B 的概率就是上面的全概公式,全概公式 （实例）,【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%
13、，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概率。解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据全概公式有,贝叶斯公式 （逆概公式）,与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因 设n个事件A1，A2，An 两两互斥， A1+A2+ An= (满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组)，且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则,贝叶斯公式 （实例）,【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%
14、，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据贝叶斯公式有：,例,在海上，如果一艘船即将沉没，一个著名的规则就是，救生艇会先载满妇女和小孩。当泰坦尼克号于1912年4月15日（星期一）沉没的时候，这条规则是否被遵守?,计算：2223名乘客中随机抽取一人，是男人或男孩的概率？ P（抽出一个男人或一个男孩）=1692/2223+64/2223=0.79 是男人或是幸存者的概率？
15、P（抽出一个男人或一个幸存者）=1692/2223+706/2223-332/2223=0.929 如果已知选出的是一个男人，这个人是幸存者的概率？ P（ 幸存者抽出一个男人)=(332/2223)/(1692/2223)=0.196 P（男人幸存者)=(332/2223)/(706/2223)=0.470 P（ 幸存者妇女或男孩或女孩)=318/2223+29/2223+27/2223/(1-1692/2223)=0.704,随机变量的概念,随机变量的概念,一次试验的结果的数值性描述 一般用 X、Y、Z 来表示 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型
16、随机变量,离散型随机变量,随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 X1 , X2， 以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子,连续型随机变量,随机变量 X 取无限个值 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点 连续型随机变量的一些例子,离散型随机变量的概率分布,离散型随机变量的概率分布,列出离散型随机变量X的所有可能取值 列出随机变量取这些值的概率 通常用下面的表格来表示,P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 pi00,离散型随机变量的概率分布 （实例）,【例】如规定打靶中域得3分，中域得2分，中域得1分，中域外得0分。今某射手每100次射击，平均有30次中域，55次中域，10次中，5次中域外。则考察每次射击得分为0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为,
