《高三导数压轴题题型归纳》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三导数压轴题题型归纳（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 26 页导数压轴题题型导数压轴题题型1. 高考命题回顾高考命题回顾 例例 1 已知函数 f(x)exln(xm)（2013 全国新课标卷） (1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m2 时，证明 f(x)0.(1)解 f(x)exln(xm)f(x)exf(0)e00m1，1xm10m定义域为x|x1，f(x)ex，1xmexx11x1显然 f(x)在(1,0上单调递减，在0，)上单调递增(2)证明 g(x)exln(x2)，则 g(x)ex(x2)1x2h(x)g(x)ex(x2)h(x)ex0，1x21x22所以 h(x)是增函数
2、，h(x)0 至多只有一个实数根，又 g( ) 0，121e13212所以 h(x)g(x)0 的唯一实根在区间内，(12，0)设 g(x)0 的根为 t，则有 g(t)et0，1t2(12g(t)0，g(x)单调递增；所以 g(x)ming(t)etln(t2)t0，1t21t2t2当 m2 时，有 ln(xm)ln(x2)，所以 f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min0.例例 2 已知函数满足（2012 全国新课标）)(xf21 21)0() 1 ( )(xxfefxfx(1)求的解析式及单调区间；)(xf(2)若，求的最大值。baxxxf2 21)(ba) 1(
3、（1）1211( )(1)(0)( )(1)(0)2xxf xfefxxfxfefx第 2 页 共 26 页令得：1x (0)1f1211( )(1)(0)(1)1(1)2xf xfexxffefe 得：21( )( )( )12xxf xexxg xfxex 在上单调递增( )10( )xg xeyg x xR( )0(0)0,( )0(0)0fxfxfxfx得：的解析式为( )f x21( )2xf xexx且单调递增区间为，单调递减区间为(0,)(,0)（2）得21( )( )(1)02xf xxaxbh xeaxb( )(1)xh xea当时，在上单调递增10a ( )0( )h xy
4、h xxR时，与矛盾x ( )h x ( )0h x 当时，10a ( )0ln(1),( )0ln(1)h xxah xxa得：当时，ln(1)xamin( )(1)(1)ln(1)0h xaaab22(1)(1)(1) ln(1)(10)abaaaa 令；则22( )ln (0)F xxxx x( )(1 2ln )F xxx( )00,( )0F xxe F xxe当时，xemax( )2eF x当时，的最大值为1,aebe(1)ab2e例例 3 已知函数ln( )1axbf xxx，曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230xy。（2011 全国新课标）（）求a、b的值；
5、（）如果当0x ，且1x 时，ln( )1xkf xxx，求k的取值范围。解（）221(ln ) ( )(1)xxbxfxxx 由于直线230xy的斜率为1 2，且过点(1,1)，故(1)1, 1(1),2ff 即1, 1,22b ab 解得1a ，1b 。（）由（）知ln1f( )1xxxx，所以第 3 页 共 26 页22ln1(1)(1)( )()(2ln)11xkkxf xxxxxx。考虑函数( )2lnh xx2(1)(1)kx x(0)x ，则22(1)(1)2( )kxxh xx。(i)设0k ，由222(1)(1)( )k xxh xx知，当1x 时，( )0h x ，h(x)
6、递减。而(1)0h故当(0,1)x时， ( )0h x ，可得21( )01h xx；当 x（1，+）时，h（x）0从而当 x0,且 x1 时，f（x）-（1ln xx+xk）0，即 f（x）1ln xx+xk.（ii）设 00,故h(x）0,而 h（1）=0，故当 x（1，k11）时，h（x）0，可得211 xh（x）0,而 h（1）=0，故当 x （1，+）时，h（x）0，可得211 xh（x）0时1)(xkxf 恒成立，求正整数k的最大值. 例例 14（创新题型）（创新题型）设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x). ()若 x=0 是 F(x)的极值
7、点,求 a 的值； ()当 a=1 时,设 P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x10,x20), 且 PQ/x 轴,求 P、Q 两点间的最 短距离；第 8 页 共 26 页()若 x0 时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(x)的图象上方,求实数 a 的取值范围例例 15(图像分析，综合应用图像分析，综合应用) 已知函数) 1, 0(12)(2babaxaxxg，在区间3, 2上有最大值 4，最小值 1，设( )( )g xf xx （）求ba,的值；（）不等式02)2(xxkf在 1 , 1x上恒成立，求实数k的范围；（）方程0)3|12|2(|)12(|xxkf 有三个
8、不同的实数解，求实数k的范 围 导数与数列导数与数列例例16（创新型问题）（创新型问题）设函数2( )() ()xf xxaxb e，abR、，xa是( )f x的一个 极大值点若0a ，求b的取值范围；当a是给定的实常数，设123xxx，是( )f x的3个极值点，问是否存在实数b，可找到4xR，使得1234xxxx，的某种排列1234,iiiixxxx（其中1234iiii，= 12 3 4，）依次成等差数列?若存在，求所有的b及相应的4x；若不存在，说明理 由 导数与曲线新题型导数与曲线新题型例例 17（形数转换）（形数转换）已知函数( )lnf xx, 21( )2g xaxbx(0)
9、a .(1)若2a , 函数( )( )( )h xf xg x 在其定义域是增函数,求 b 的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数2xx(x)=e +be , x 0, l n2 , 求函数(x)的最小值;(3)设函数)(xf的图象 C1与函数)(xg的图象 C2交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x轴的垂线分别交 C1、C2于点M、N,问是否存在点 R,使 C1在M处的切线与 C2在N处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.例例 18（全综合应用）（全综合应用）已知函数( )1 ln(02)2xf xxx .(1)是否存在点( , )M a b,使得函
10、数( )yf x的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点Q 也在函数( )yf x的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由;(2)定义2111221( )( )( )()nn iinSffffnnnn,其中*nN,求2013S;(3)在(2)的条件下,令12nnSa ,若不等式2()1nam na对*n N且2n 恒成立,求实数m的取值范围. 导数与三角函数综合导数与三角函数综合例例 19（换元替代，消除三角）（换元替代，消除三角）设函数2( )()f xx xa （xR），其中aR（）当1a 时，求曲线( )yf x在点(2(2)f，处的切线方程；（）当0a 时，求函数(
11、 )f x的极大值和极小值；第 9 页 共 26 页（）当3a ， 10k ，时，若不等式22(cos )(cos)f kxf kx对任意的 xR恒成立,求k的值。创新问题积累创新问题积累例例 20 已知函数.2( )ln44xxf xxI、求的极值. ( )f xII、求证的图象是中心对称图形.( )f xIII、设的定义域为,是否存在.当时，的取值范围( )f xD, a bD,xa b( )f x是?若存在,求实数、的值；若不存在，说明理由,4 4a b ab导数压轴题题型归纳导数压轴题题型归纳 参考答案参考答案例例 1 解：(1)1a时，xxxg3)(，由013)(2xxg，解得33x
12、 .)(xg的变化情况如下表：x0)33, 0(33) 1 ,33(1)(xg-0+)(xg0极小值0所以当33x 时，)(xg有最小值932)33(g .(2)证明：曲线)(xfy 在点)2 ,(2 11axxP处的切线斜率112)(xxfk曲线)(xfy 在点 P 处的切线方程为)(2)2(112 1xxxaxy.令0y，得12 1 22xaxx ，12 1 1 12 1 1222xxaxxaxxxax 1，0212 1 xxa，即12xx .又11 22xax ，axax xax xaxx111112 1 2222222所以axx21.例例21( )ln1(0)af xxaxxx ，22
13、2l11( )(0)aaxxafxaxxxx第 10 页 共 26 页令2( )1(0)h xaxxa x 当0a 时，( )1(0)h xxx ，当(0,1), ( )0,( )0xh xfx,函数( )f x单调递减；当(1,), ( )0,( )0xh xfx，函数( )f x单调递增.当0a 时，由( )0fx，即210axxa ，解得1211,1xxa .当1 2a 时12xx，( )0h x 恒成立，此时( )0fx，函数( )f x单调递减；当102a 时，1110a ,(0,1)x时( )0,( )0h xfx，函数( )f x单调递减； 1(1,1)xa 时，( )0,( )
14、0h xfx，函数( )f x单调递增； 1(1,)xa 时，( )0,( )0h xfx，函数( )f x单调递减.当0a 时110a ，当(0,1), ( )0,( )0xh xfx,函数( )f x单调递减；当(1,), ( )0,( )0xh xfx，函数( )f x单调递增.综上所述：当0a 时，函数( )f x在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；当1 2a 时12xx,( )0h x 恒成立,此时( )0fx，函数( )f x在(0,)单调递减；当102a 时,函数( )f x在(0,1)递减,1(1,1)a 递增,1(1,)a 递减.当1 4a 时，( )f x在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意1(0,2)x ，有11()(1)2f xf ，又已知存在21,2x ，使12()()f xg x，所以21()2g x ，21,2x ，（）又2
