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1、1,2-5 极限存在准则两个重要极限,2,1、无穷小与无穷大:,无穷小与无穷大是相对于极限过程(x的变化趋势)而言的.,一种极限是零，另一种极限是无穷大.,(1)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,重要性质,(2)在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,复习,3,2. 极限的求法：,1、代入法；,2、约零因式法；,3、无穷小的运算性质法,5、无穷小因子分出法,6、化无限为有限法,7、换元法,4、无穷小与无穷大的关系法,4,第五节极限存在准则 两个重要极限,二、两个重要极限,一、极限存在准则,夹逼准则 ；单调有界准则,5,准则：,(2),且,1、夹逼准则,（两边夹法
2、则）,(1),一、极限的存在准则,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,6,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意：,利用夹逼准则求极限，,(两边夹法则),准则 和准则 称为夹逼准则,7,例1,由两边夹法则得,8,证明略,准则 单调有界数列必有极限.,2、单调有界准则,9,证,(舍去),10,二、两个重要极限,(1),设单位圆O，,圆心角,作单位圆的切线得,的高为BD，,于是有,（,11,即,12,注意：,1.函数：,分子是正弦函数,变量与分母相同.,2.极限过程是：,且极限值为1,如,分母,2.用来解决：,型的含有三角函数的未定式的极限问题.,13,解,解,1.,=1,14,
3、例3,解,原式,15,例4,解,16,(2),我们从三方面来认识这个极限：,1.函数：,第二项与指数互为倒数.,2.极限过程是：,指数,3.极限值,=e,(e=2.718281828459045 ),括号内第一项是1，,中间是“+”号，,17,注意：,主要解决幂指函数的极限问题.,如,18,例5,解,解,请做,例6,19,解,例7 计算,20,解,例8计算,21,解,解,22,解,例11,23,设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利和为A0A0rA0(1r),n年后所得利息nA0r,本利和为 An=A0+nA0r=A0(1+nr) 这就是单利的本利和计算公式,第二年以第一年后的本
4、利和A1为本金,则两年后的本利和为A2A0(1r)A0(r)rA0(r)2，照此计算,n年后应得本利和为 AnA0(1r)n 这就是一般复利的本利和计算公式.,三、 极限在经济学中的应用,24,资金周转过程是不断持续进行的, 若一年中分n期计算,年利率仍为r,于是每期利率为r/n ,则一年后的本利和为 A1A(1 r/n )n，,t年后本利和为 AtA(1 r/n )nt ，,若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是n时,得t年后本利和为这就是连续复利公式,25,因此，在年利率为r的情形下,若采用连续复利，有： （1）已知现值为A0, 则t年后的未来值为 AtAert，,（2）已知未来值为At , 则贴现值为 A At e-rt,26,小结,两个重要极限,作业p62 1. (1), (3), (7), 2 (1), (3), (6),预习p56- p64,27,思考题,求极限,思考题解答,28,解,原式=,例: 填空,
