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1、矩阵秩的概念,矩阵秩的计算,第六节 矩阵的秩,在一个,矩阵A中，任取,位于这些行和列的交叉点上的,个元素按原来,的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵A的一个 k阶子式，这里,1、矩阵 A 的 k 阶子式,定义：,矩阵A的 k 阶子式共有,个。,一、矩阵的秩,例如 在矩阵 A=,在A中可选出,个二阶子式，,定义：设在矩阵A中有一个不等于0的r 阶子式D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么D 称为矩阵A的最高阶非零子式 数r称为矩阵A的秩 记作R(A) 并规定零矩阵的秩等于0,下页,2、矩阵 A 的秩,有的r+1 阶子式全为零。,R（A）= r,A中存在非零的r 阶子式，且所,即：,例
2、如对,例1,解,计算A的3阶子式，,另解,显然，非零行的行数为2，,此方法简单！,B时 ， R（A）= R（B）,即A,定理 初等变换不改变矩阵的秩。,二、矩阵的秩的求法,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例2,解,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵 设B的行阶梯形矩阵为 B0(A0 b0) 则A0就是A的行阶梯形矩阵 故从B0(A0 b0)中可同时看出R(A)及R(B),解：,因为,所以R(A)2 R(B)3,练习,(1) 求矩阵A=,(2) 设A=,问 x 为何值时有R(A)=1 ?,所以
3、 R（A）= 2,（2） 设A=,问 x 为何值时有R(A)=1 ?,解：,三、小结,(2)初等变换法,1. 矩阵秩的概念,2. 求矩阵秩的方法,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变,证毕,二、矩阵等价,1. 定义,2. 矩阵之间的等价关系具有的性质,反身性,对称性,传递性,矩阵的标准形,其特点是: 左上角是一个单位 矩阵，其余元素全为0.,结论：对于 矩阵 ，总可经过初等变换把它化为标准形,推论2,矩阵 与 等价的充分必要条件是 存在 阶可逆矩阵 及 阶可逆矩阵 ， 使,证明,定理 初等变换不改变矩阵的秩。,(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则R(A)s 若A中所有t阶子式全为0 则R(A)t (2)若A为mn矩阵 则 0 R(A) minm n (3)R(AT )R(A),几个简单结论,(4)对于n 阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当|A|0时 R(A)n 可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为降秩矩阵,
