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1、第二章 一元函数微分学,一、函数导数的概念,第一节 函数的导数,1.函数 在点 处的导数,例2-1.已知函数 ，求,等价定义：,(结论：极限式分子的被减数与减数中对应符号 内的表达式之差恰好等于极限的分母，则该极限等于函数在指定点 处的导数 .）,（1）设函数 ，求,例2-2.,（2）设函数 ，求,（3）设函数 ，讨论m在什么条件下连续与可导？,例2-3.,设函数 在点 可导，求,例2-4.,（1）设 ，求,（2）若 ，求,（2008-2）设函数 可导，则下列式子中正确的是,(2005-13)设函数 在 内连续，并满足： , ，求 .,2.左导数和右导数,左导数,右导数,导数存在性定理,（求分
2、段点的导数必须要用此定理）,例2-5.用导数定义求在点 处的导数.,3.导数的几何意义,几何意义：,切线方程：,法线方程：,（2007-8）若直线 是曲线 的一条切线，则常数,（2008-21）求曲线 的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小， 并求此最小值.,4.导数与连续的关系,若函数 在点 可导，则 在 连续.,可导,连续,连续,可导,不连续,不可导,?,连续不一定可导！,（1）设函数 在点 处可导，求 的值.,例2-6.,（2）设 ，其中 在 处连续，求 .,5.导函数,二、函数导数的计算,1.基本初等函数的导数公式,2. 导数的四则运算,例2-7.求下列函数的导数,3. 复合函数的导数
3、,（1） 复合函数求导法,中间变量,例2-8.求下列函数的导数,（2） 抽象复合函数的导数,例2-9.（1）设函数 ，求,（3）已知 ，求,（2）设函数 可导， ，求,4. 隐函数的导数,由方程 所确定的函数 称为 是 的隐函数，其导数的求法为：,对方程两边同时对 求导，要记住 是 的函数，则 的函数是 的复合函数，对 求导应该按复合求导法则求解.,（2007-14）设函数 由方程 所确定，求,5. 幂指函数的导数,（再利用隐函数求导法）,（再利用复合函数求导法）,例2-11.求下列函数的导数,6. 参数方程的导数,若参数方程 确定 是 的函数，则有,例2-12.已知 ，求,(2008-14)
4、设函数 由参数方程 所确定，求,(2006-14)设函数 由参数方程 所确定，求,(2005-14)设函数 由参数方程 所确定，求,7. 高阶导数,例2-13.设 ，求,8. 函数的微分,微分公式：,一、罗尔定理,第二节 中值定理,条件,如果函数 满足,结论：,（1）在闭区间 连续； （2）在开区间 可导 （3）,则至少存在一点 使得,（2007-3）设函数 ，则方 程 的实根个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4,（2006-3）下列函数在 上满足罗尔定理条件的是( )A. B. C. D.,二、拉格朗日定理,条件,如果函数 满足,结论：,（1）在闭区间 连续； （2）在开区间 可导,则
5、至少存在一点 使得,（2005-8）函数 在区间 上满足拉格郎日中值定理的 .,8.利用罗比塔法则求极限,(1) 型的罗彼塔法则,设函数 满足条件：,在点a的某空心邻域内可导，且,则必有,例2-14.求下列函数的极限,(2) 型的罗彼塔法则,例2-15.求极限,(3) 型的罗彼塔法则,例2-16.求下列函数的极限,(4) 型的罗彼塔法则,如果 ，求,例2-17.求极限,例2-18.求下列函数的极限,1.利用定义判断函数的增减性,任取,（变量x与y同方向变化）,（变量x与y反方向变化）,注意：等号只是在个别点处取得，不影响函数的增减性,第三节 利用导数研究函数的性态,一、函数的增减性(证明题),
6、2.利用导数判断函数的增减性,设函数 在 上可导，则,（1） 在 上是递增的,（2） 在 上是递减的,其中使 成立的点仅有有限个.,小结：利用导数求函数的增减区间的步骤,（1）求出 的定义域；,（2）令 ，求出全部驻点和导数不存在的点；,（3）用驻点和导数不存在的点把定义域划分为若干个小区间，考察各小区间内 的符号.,例2-19.确定下列函数的单调区间,驻点,3.利用导数判断函数单调性的方法证明不等式,证明过程如下： （1）移项使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数； （2）求 并验证 在指定区间的增减性； （3）求出区间端点的函数值，作比较即可.,二、函数的极值与最值,1.函数极值的定
7、义,设函数 在点 的某领域内有定义，是该领域内的任意一点，若,2.函数极值存在的条件,（1）必要条件,点 是曲线 的极值点，则有 或 不存在.,(2005-2)若 是函数 的可导极 值点，则常数 ( )A. B. C. D.,（2）第一充分条件,例2-21. 求下列函数的极值,（3）第二充分条件(只适用驻点）,例2-22. 求函数 的极值.,小结：利用导数求函数极值点和极值的步骤,（1）求出驻点和导数不存在的点 ；,（2）利用第一充分条件判断在点 处是否取得极值；,（3）求出极值,（对于驻点还可以采用第二充分条件）,3.函数的最大值和最小值,（1）最值的定义,任意,是函数 的最小值.,是函数
8、的最小值.,（2）利用导数求函数在 上的最值的步骤：,求出端点函数值 ；,求出 在 内的驻点和导数不存在的点 ；,将 比较大小，最大的就是最大值， 最小的就是最小值.,三、函数的凹性与拐点,1.函数的凹性定义,如果在某区间 内，曲线弧位于其上任意一点切线的上（下）方，则称曲线在 内是上（下）凹的.,曲线上凹与下凹的分界点称为拐点.,2.判断函数的凹性,设函数 在 上二阶可导，则,（1） 在 上是上凹的,（2） 在 上是下凹的,3.拐点存在的必要条件,点 是曲线 的拐点，则有 或 不存在.,（2007-22）设函数 具有如下性质： （1）在点 的左侧临近单调减少； （2）在点 的右侧临近单调增加； （3）其图形在点 的两侧凹凸性发生改变. 试确定 的值.,四、曲线的渐近线,1.曲线渐近线的定义,如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于0，则称此直线为曲线的渐近线.,2.水平渐近线,若 或 则 为曲线的水平渐近线.,3.垂直渐近线,若 或 则 为曲线的垂直渐近线.,4.水平渐近线,若 则 是曲线的 斜渐近线.,例2-25.判断下列函数的渐近线,
