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1、第二章 拉伸与压缩,2-1 轴向拉伸与压缩的概念,受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵 向力，力的作用线与杆轴线重合,CL2TU1,变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横 截面沿轴线平行移动。,2-2 轴向拉伸与压缩时横截面上的内力和应力,应用截面法,拉伸为正，压缩为负,CL2TU2,一、内力 轴力图,例：求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力,解：,CL2TU3,轴力图,二、轴向拉伸或压缩杆件的应力,1、横截面上的应力,CL2TU2,平面假设：变形前为平面的横截面变形后 仍为平面。,圣维南(Saint Venant)原理：作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之静力等效的力系来代
2、替。而两力系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有显著的影响，在离开力系作用区域较远处，应力分布几乎相同,2、斜截面上的应力,CL2TU2,CL2TU2,2-4 材料拉伸时的力学性质,一、低碳钢的拉伸实验,CL3TU1,标准试件,标距 ，通常取 或,液压式万能试验机,底座,活动试台,活塞,油管,CL3TU5,1. 弹性阶段 oab,弹性变形：,外力卸去后能够恢复的变形,塑性变形（永久变形）：,外力卸去后不能恢 复的变形,这一阶段可分为：斜直线Oa和微弯曲线ab。,比例极限,弹性极限,屈服极限,2. 屈服阶段 bc,上屈服极限,下屈服极限,强化阶段的变形绝大部分是塑性变形。,3. 强化阶段 cd
3、,强度极限,表面磨光的试件，屈服时可在试件表面看见与轴线大致成45倾角的条纹。这是由于材料内部晶格之间相对滑移而形成的，称为滑移线。因为在45的斜截面上剪应力最大。,在试件内所有晶格都发生滑移之后，沿晶格错动面产生了新的阻力，屈服现象终止。要使试件继续变形，必须增大拉力，这种现象称为材料的强化。强化阶段的变形绝大部分是塑性变形，这个阶段试件的横向尺寸明显缩小。e点所对应的应力是材料所能承受的最大应力，称为强度极限或抗拉强度，用 表示。,4. 颈缩阶段 de,CL3TU6,比例极限 屈服极限 强度极限,其中 和 是衡量材料强度的重要指标,延伸率:,CL3TU6,截面收缩率 :,CL3TU6,CL
4、3TU7,冷作硬化现象经 过退火后可消除,卸载定律：,冷作硬化,材料在卸载时应力与应变成直线关系,二、其它材料的拉伸实验,对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，通常规定以产生0.2的塑性应变所对应的应力作为屈服极限，并称为名义屈服极限，用0.2来表示。,CL3TU3,没有屈服现象和颈缩现象,只能测出其拉伸强度极限 。,CL3TU4,灰口铸铁的拉伸实验,2-5 材料压缩时的力学性质,一般金属材料的压缩试件都做成圆柱形状。,CL3TU8,低碳钢压缩时的-曲线,CL3TU9,拉伸,压缩,铸铁压缩时的-曲线,CL3TU4,拉伸,压缩,蠕变及松弛现象,固体材料在保持应力不变的情况下，应变随时间缓慢增长
5、的现象称为蠕变。粘弹性材料在总应变不变的条件下,变形恢复力（回弹应力）随时间逐渐降低的现象称为应力松弛。,2-7 轴向拉伸或压缩时的强度计算,轴向拉压杆内的最大正应力:,强度条件：,式中： 称为最大工作应力；称为材料的许用应力。,对于脆性材料,对于塑性材料,根据上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算：,一、校核杆的强度 已知Nmax、A、，验算构件是否满足强度条件。,二、设计截面已知Nmax、,根据强度条件，求A。,三、确定许可载荷已知A、，根据强度条件,求Nmax。,例1一直径d=14mm的圆杆，许用应力=170MPa，受轴向拉力P=2.5kN作用，试校核此杆是否满足强度条件。,解：,满足
6、强度条件。,2-8 轴向拉伸或压缩时的变形 胡克定律,纵向线应变,横向线应变,关于横向变形：,从图中可看出，横向线应变为：,实验表明：当应力不超过比例极限时， 横向应变 与轴向应变 之比的绝对值为一常数,即：, 称为横向变形系数或泊松(Poisson)比，是一个无量纲的量。,轴向拉压杆胡克定律,大量各种不同工程材料的拉伸与压缩实验结果表明：在弹性范围内，当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。称为胡克定律（Hookes law ）。,比例常数称为弹性模量。,弹性模量和泊松比都是材料本身固有的弹性常数，几种常用材料的E和 见教材P16表2-1。,对等截面直杆两端受轴力作用：,胡克定律计算
7、变形的表达式,对于长度相同，受力相等的杆件，EA值越大，变形越小，它代表了杆件抵抗拉伸或压缩变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。,FN 和 A 是所计算杆件或杆中某一段的内力和面积，且都是常量, 即上式适用于等截面, 常内力的情况。,说明： （1）变形量 的符号与轴力相一致； （2）构件的工作应力必须在线弹性范围内，胡克定律才成立； （3）公式适用于轴力与杆的横截面积都为常量的情况，即等直杆两端受轴力作用。,若1.等截面直杆，轴力沿轴线方向变化时：,叠加原理几个(组)外力共同作用下在弹性体中所引起的效应,等于每组外力分别单独作用下引起的效应的代数和或几何合。叠加原理应用的条件：小变形, 线弹
8、性, 载荷与所引起的效应成线性关系。,若2.当截面尺寸沿轴线变化缓慢, 且外力作用线与轴线重合时, 我们在杆件中取出 dx 微段, 由于 dx 非常微小, 故在 dx 内, FN (x ) 和 A(x) 可近似看成常量，则 dx 微段内杆的变形为：,整个杆件的变形,例1：图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长l,CL2TU10,解:,例2：求图示结构结点A的垂直位移。,CL2TU11,解:,切线代圆弧,解: (1). 校核强度 对 B 点作受力分析, 如图 (b
9、)。,由,故,例3: 图示为一简单托架, BC 杆为圆钢, 横截面直径 d=20mm , BD 杆为 8号 槽钢。若： F=60KN,试校核托架的强度, 并求 B 点的位移。,(压力),(拉力),由教材型刚表P349可查 8号型钢的横截面积为,(2). 求 B 点的位移,LCB,LDB,B,由胡克定律求 BC、BD 杆的变形：,再由几何关系即可求得 B 点的水平和垂直位移及总位移,LCB,LDB,2-9 应力集中的概念,应力集中现象: 由于构件外形尺寸突然变化而引起的局部应力 发生急剧增大的现象。,静载下, 塑性材料可不考虑，脆性材料（ 除特殊的, 如铸铁 ）应考虑。 动载下, 塑性和脆性材料
10、均需考虑。,应力集中系数是一个大于1的数，反映了应力集中的程度。应力集中程度与外形的突变程度直接相关。突变越剧烈, 应力集中程度越剧烈。,理论应力集中系数:,其中：, 应力集中截面上的最大应力 同一截面上的平均应力（名义应力）,2-10直杆轴向拉伸或压缩时的变形能,一. 基本概念,弹性体在外力作用下会产生变形。在变形过程中,外力所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。当外力逐渐减小, 变形逐渐消失时, 弹性体又是将释放能量而作功。这种能量, 因为是在弹性体变形过程中产生的, 因此我们就称其为 变形能 。,1. 定义在外力作用下, 弹性体因变形而储存于体内的能量,称为 变形能 或 应变能 。,则：
11、,设直线的斜率为 k,2. 变形能的计算,图示杆件的上端固定, 下端作用一外力 F ,F 由零逐渐增加到 F 。在比例极限的范围之内,关系如图。,当外力加到 F1 时, 杆件的伸长量用 L1 表示。,当外力加到 F1 + F时, 杆件的伸长量为 L1+d(L1) 。,由于 F 为无穷小量, 在区间 ( a , b ) 内可近似地认为F1 为常量, 则在这个区间内外力作的功为：,则拉力 F 所作的总功 W,即：,由胡克定律：,可知：,由于整个杆件内各点的受力是均匀的, 故每单位体积内 储存的变形能都相同, 即比能相等, 通常比能用 u 表示。,比能（单位体积的变性能）,由,有,（线弹性范围内）,
12、单位：比能的单位为：,在加载过程中, 外力在相应变形上所作的功在数值上等于杆件所储存的变形能。（ 缓慢加载, 忽略其它能量损耗。）杆件的变形能用 U 表示, 则：,功能原理：,解：,例： 已知: F =10 kN , 杆长 l =2m , 杆径 d =25mm , =30, 材料的弹性模量 E =210GPa 。 求：图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点 A 的位移 A 。,而,2-11 拉伸与压缩的静不定问题,一、静不定问题及其解法 静定问题：根据静力平衡方程即可求出全 部未知力（支反力和轴力） 静不定问题：未知力数目多于静力平衡方 程数目,静不定次数：未知力数目与独立的平衡方程数目
13、之差,例1：求图示杆的支反力。,CL2TU15,解：静力平衡条件：,变形协调条件：,引用胡克定律：,由此得：,联立求解(1)和(2), 得：,例2：刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为，材料的弹性模量为 E，杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷P,CL2TU16,解：静力平衡条件：,变形协调条件：,即：,联立求解(1)和(2), 得：,3杆轴力为最大,其强度条件为:,例3：求图示各杆的轴力。,CL2TU17,解（1）静力平衡条件：,（2）变形协调条件（几何方程）,由结构、材料、荷载的对称性,（3）物理方程,(4)补充方程把物理方程代入几何方程，得到补充方程：,
14、联立 补充方程和平衡方程即可求得未知力如下,可见, 各杆的内力与各杆的刚度有关。,例4：如图所示，为刚杆，1、2、3杆、均相同，求各杆内力值。,CL2TU20,解（1）静力平衡方程,（2）变形协调方程,（3）物理方程（胡克定律）,即,代入变形协调方程,得到补充方程,联立三个方程即可求解各杆的轴力,例5：求图示等直杆件的两端支反力。杆件两端固定,CL2TU21,解：,变形协调条件：,二、装配应力,CL2TU18,解：静力平衡条件：,变形协调条件：,引用胡克定律：,1). 平衡方程,2). 几何方程,三、温度应力,例1、如图所示静不定结构, 求: 其温度由,时, 构件内部的应力值。,解：,解除 B
15、 端约束, 由于温度变化杆件自由伸长 ,再加上 RB , 使 B 端回到原始位置, 则有,4). 补充方程,5). 由补充方程可直接求得杆端约束反力,3). 物理方程, 线胀系数,进而求得构件横截面上温度应力为,线膨胀系数：单位长度的杆温度升高1时杆的伸长量,例2:在温度为时安装的铁轨，每段长度为12.5m，两相邻段铁轨间预留的空隙为=1.2mm，当夏天气温升为40时，铁轨内的温度应力为多少？已知：E=200GPa，线膨胀系数 12.510-6 。,解： 变形协调条件为,2-13 剪切和挤压的实用计算 一、剪切的实用计算 构件的受力特点：作用于构件两侧的外力的合力是一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的横向力。,变形特点：以两力P之间的横截面为分界面，构 件的两部分沿该面发生相对错动。,销轴连接,受力特点：大小相等, 方向相反, 作用线相距很近的一对力, 作用于 构件两个侧面上, 与构件轴线垂直。变形特点： 使构件两部分沿剪切面有发生相对错动的趋势。,以两力 F 之间的横截面为分界面, 构件的两部分沿该面 发生相对错动, 这个面称为剪切面。,具有上述两个特点的变形, 称为剪切变形。,（一）剪切的概念,1. 剪力,如图所示, 沿截面 mm 假想的把螺栓分成两部分，并取上半部分作为研究对象, 如图：mm 面上的合力用 Fs 表示。,
