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1、多元线性回归,b=regress( Y, X ),1、确定回归系数的点估计值：,统计工具箱中的回归分析命令,对一元线性回归，取p=1即可。,3、画出残差及其置信区间： rcoplot（r，rint）,2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：b, bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha),例1,解：,1、输入数据：x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;X=ones(16,1) x;Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98
2、99 100 102;,2、回归分析及检验：b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X)b,bint,stats,题目,3、残差分析，作残差图：rcoplot(r,rint),从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常点.,4、预测及作图： z=b(1)+b(2)*xplot(x,Y,k+,x,z,r),多 项 式 回 归,（一）一元多项式回归,y=a1xm+a2xm-1+amx+am+1,2、预测和预测误差估计：,（1）Y=poly
3、val（p，x）求polyfit所得的回归多项式在x处 的预测值Y； （2）Y，DELTA=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为 1-alpha的置信区间Y DELTA；alpha缺省时为0.5,方法一,直接作二次多项式回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;p,S=polyfit(t,s,2),得回归模型为 ：,法二,化为多元线性回归： t=1
4、/30:1/30:14/30; s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48; T=ones(14,1) t (t.2); b,bint,r,rint,stats=regress(s,T); b,stats,得回归模型为 ：,Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,k+,t,Y,r),预测及作图,（二）多元二项式回归,命令：rstool（x，y，model, alpha）,例3 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下，建立回归模型，
5、预测平均收入为1000、价格为6时 的商品需求量.,方法一,直接用多元二项式回归： x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300; x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9; y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60; x=x1 x2;rstool(x,y,purequadratic),在画面左下方的下拉式菜单中选”all”, 则beta、rmse和residuals都传送到Matlab工作区中.,在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入6。,则画面左边的“Predicted Y”下方的数据变
6、为88.47981，即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.,在Matlab工作区中输入命令： beta, rmse,结果为: b =110.53130.1464-26.5709-0.00011.8475stats =0.9702 40.6656 0.0005,方法二,非线性回 归,（1）确定回归系数的命令：beta，r，J=nlinfit（x，y，model, beta0）,（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，model, beta0，alpha）,1、回归：,例 4 对第一节例2，求解如下：,2、输入数据：x=2:16;y=6.42 8.20 9.5
7、8 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76;beta0=8 2;,3、求回归系数：beta,r ,J=nlinfit(x,y,volum,beta0)；beta,得结果：beta =11.6036-1.0641,即得回归模型为：,4、预测及作图： YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r ,J)；plot(x,y,k+,x,YY,r),例5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。下表列出了1952-1981年的原始数据，
8、试构造预测模型。,解 设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6，财政收入为y，设变量之间的关系为： y= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6 使用非线性回归方法求解。,1 对回归模型建立M文件model.m如下:function yy=model(beta0,X)a=beta0(1);b=beta0(2);c=beta0(3);d=beta0(4);e=beta0(5);f=beta0(6);x1=X(:,1);x2=X(:,2);x3=X(:,3);x4=X(:,4);x5=X(:,5);x6=X(:,6);yy=
9、a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6;,2. 主程序liti6.m如下:,X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.002927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00 . 271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00 .564.00 638.00 658.00 691.0
10、0 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00 .890.00 826.00 810.0;beta0=0.50 -0.03 -0.60 0.01 -0.02 0.35;betafit = nlinfit(X,y,model,beta0),betafit =0.5243-0.0294-0.63040.0112-0.02300.3658即y= 0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230x5+0.3658x6,结果为:,逐 步 回 归,逐步回归的命令是：stepwise（x，y，inmodel，alpha）,运行stepwise命令
11、时产生三个图形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History.,在Stepwise Plot窗口，显示出各项的回归系数及其置信区间.,Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差（RMSE）、相关系数（R-square）、F值、与F对应的概率P.,例6 水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、 x4 有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归法确定一个 线性模 型.,1、数据输入： x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10; x2=26 2
12、9 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68; x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8; x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12; y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4; x=x1 x2 x3 x4;,2、逐步回归： （1）先在初始模型中取全部自变量：stepwise(x,y) 得图Stepwise Plot 和表Stepwise Table,图Stepwise Plot中四条直线都是虚线，说明
13、模型的显著性不好,从表Stepwise Table中看出变量x3和x4的显著性最差.,（2）在图Stepwise Plot中点击直线3和直线4，移去变量x3和x4,移去变量x3和x4后模型具有显著性.,虽然剩余标准差（RMSE）没有太大的变化，但是统计量F的 值明显增大，因此新的回归模型更好.,（3）对变量y和x1、x2作线性回归：X=ones(13,1) x1 x2;b=regress(y,X),得结果：b =52.57731.46830.6623 故最终模型为：y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2,作 业,4、混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加，现将一批混凝土作成12个试块，记录了养护日期x（日）及抗压强度y（kg/cm2）的数据：,
