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1、第九章 压杆稳定,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,木结构中的压杆,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,脚手架中的压杆,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,桁架中的压杆,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,嫦娥奔月中的压杆,稳定性(Stability ),桁架稳定性（Stability of Trusses ）,桁架吊索式公路桥,第10章 压杆稳定,索式公路桥,第10章 压杆稳定,第10章 压杆稳定,第10章 压杆稳定,第10章 压杆稳定,工程实例,一、稳定平衡与不稳定平衡：,1、不稳
2、定平衡： 扰动作用除去后不能回复的平衡：,2、稳定平衡： 扰动作用除去后能回复的平衡：,物体平衡的稳定性,3、稳定平衡和不稳定平衡的区别：,压力Fcr称为压杆的临界力或称为临界荷载（Critical loads）。 压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发生突然弯曲，所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现象 也称为屈曲。,压杆稳定的概念,稳定的平衡： （ stable equilibrium ） 能保持原有的 直线平衡状态的平衡；,不稳定的平衡： （unstable equilibrium ） 不能保持原有的直 线平衡状态的平衡。,4、失稳 (屈曲) ：,例：受外压的薄壳,构件由一种平衡状态改变为另
3、一种平衡状态。,二、压杆的失稳与临界压力：,1) 理想压杆：理想材料；轴线直线；轴向压力。,2) 压杆的稳定平衡与不稳定平衡：,稳 定 平 衡,不 稳 定 平 衡,3) 压杆失稳：,4) 压杆的临界压力：,稳 定 平 衡,不 稳 定 平 衡,临界状态,临界压力: Fcr,使压杆保持微弯状态下 平衡时的最小压力值。,3)临界压力与压杆失稳：,压杆由于处于不稳定平衡 状态而造成的失效时， 我们称之为“压杆失稳” 。,在较小轴向压力F 作用下,试件可保持稳定平衡； 但 F 增大到某一值 Fcr 时, 试件开始出现不稳定平衡, 我们将此 Fcr称为临界压力。,压杆失稳导致钢梁倒塌,三、工程中的压杆稳定
4、性问题,顶杆 的 稳定性,吊车塔身的稳定性,1875年俄国开伏达河上同名桥，在安装完毕后，仅当工作车通过时,受压上弦杆发生偏离桁架平面的屈曲而毁坏。,1925年2月13日，修复后的莫济里桥在试车时出现了问题。幸好桁架落在为试车准备的临时支座上，人们才可看到斜杆失稳后的情景。左图桥下侧面观察，右图桥上看：长15.372米的斜杆一根鼓出1.46米，另一根鼓出0.905米。,2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡，35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。,实际的受压杆件由于：,其轴线并非理想的直线而存在初弯曲， 2. 作用于杆上的轴
5、向压力有“偶然”偏心， 3. 材料性质并非绝对均匀， 因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧 向位移随轴向压力的增大而更快地增大。,第九章 压杆稳定,压杆的截面形式及支端约束,压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆横截面的弯曲刚度应尽可能大； 图a为钢桁架桥上弦杆(压杆)的横截面， 图b为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改善压杆的杆端约束条件，例如限制甚至阻止杆端转动。,第九章 压杆稳定,临界压力的计算公式 欧拉公式 推导,首先我们假定压力已达到临界值，此时杆处 于微弯平衡状态，然后从挠曲线入手求临界压力:, 内力弯矩的计算：, 挠曲线近似微分方程：,9.2 两端铰支
6、细长压杆的临界压力,P147,边界条件！, 上微分方程的解：, 确定积分常数：A、B,注意：A = 0 ?,若A = 0 , 则挠曲线：,故 A0 !,与杆处于微弯失稳状态的假设相矛盾!,临界力 Fcr 是杆微弯下的最小压力， 故只能取 n = 1 ； 且杆将绕惯性矩最小的方向弯曲。, 确定积分常数：,欧拉公式 ,临界压力的 计算公式 ,注意：压杆一定是绕惯性矩最小的平面内弯曲。,欧拉公式的应用条件：,1) 理想压杆；,2) 线弹性范围内；,3) 两端为球铰简支。,欧拉公式：,理想材料；轴线直线；轴向压力。,一、其他支座条件下细长压杆临界压力计算公式, 长度系数（或叫“约束系数”）,方法(1)
7、： 利用挠曲线近似微分方程，结合压杆的边界条件进行推导，与9.2节两端铰支的情况相同;,方法(2)： 将不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状进行对比，,l 相当长度（或叫“有效长度”）,9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力, “欧拉公式”,可得：,不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状对比：,一、其他支座条件下细长压杆临界压力计算公式, 长度系数（或叫“约束系数”）,方法(1)： 利用挠曲线近似微分方程，结合压杆的边界条件进行推导，与9.2节两端铰支的情况相同;,方法(2)： 将不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状进行对比，,l 相当长度（或叫“有效长度”）,9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压
8、力, “欧拉公式”,可得：,不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状对比：,解：变形关于杆中点对称， 其挠曲线近似微分方程为：,F,l,例1 试由挠曲线近似微分方程，导出两端固定的细长压杆的临界压力计算公式。,解：变形关于杆中点对称， 其挠曲线近似微分方程为：,F,l,上微分方程的解：,确定积分常数：C、D,边界条件：,确定积分常数：,求最小临界压力， n 应取除零以外的最小值，,确定积分常数：,所以其临界压力为：,即 = 0.5,END, 压杆的临界力：, = 1.0，,解： 绕 y 轴，该杆两端为铰支：, = 0.7，, 绕 z 轴，左端固定，右端铰支：,y,x,z,y,z,b,h,l,例2 求
9、下图结构中细长压杆的临界压力。,END,不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状对比：,例3 图示结构，两根直径为 d 的细长圆杆， 上下两端分别与刚性板固结，在总压力 F 作用下，求最小的临界载荷。,解：结构可能的失稳形式有以上三种：,(1) 两端固定（中心失稳）,(2) 下端固定，上端自由，y为中性轴 (左右失稳),(3) 下端固定，上端自由，z 为中性轴(前后失稳),例3 图示结构，两根直径为 d 的细长圆杆， 上下两端分别与刚性板固结，在总压力 F 作用下，求最小的临界载荷。,(1) 两端固定(中心失稳):,(2) 下端固定，上端自由，y为中性轴 (左右失稳),(3) 下端固定，上端自由，
10、z 为中性轴 (前后失稳),得：,一、临界应力,细长压杆横截面上的平均临界应力：,定义：细长杆的柔度 (或叫“长细比”)：,9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式,细长压杆横截面上的平均临界应力：,注意：一般情况下，杆件在不同的纵向平面内 具有不同的柔度值，而且压杆失稳首先发生在 柔度最大的纵向平面内。因此，压杆的临界应力:cr 应按柔度的 最大值： max 来代入上式计算。,解：,30,10,F,l,例4 已知：l = 0.5 m，E = 200 GPa， 求下图中细长压杆的临界应力和临界压力。,END,y,F,l,例5 已知：l = 0.5 m，E = 200 GPa， 求下图中细长压杆的临
11、界应力和临界压力。,解：,z,END,二、欧拉公式的适用范围,欧拉公式的应用条件，线弹性范围内：,max p ：大柔度压杆或称为细长压杆,对于Q235钢：E = 206 GPa，p = 200 MPa：,1) 大柔度杆 或细长杆：,2) 中柔度杆或中长杆：,p cr s ： s：屈服极限 p：比例极限,弹塑性失稳,弹性失稳,欧拉公式:, 经验公式 ， 其中：a、b可查P301表9-2,2) 中柔度杆或中长杆：,p cr s ：,弹塑性失稳, 经验公式，a、b查P301表13-2,max s：,3) 小柔度杆或粗短杆：,（塑性材料）,（脆性材料）,强度破坏,1) 大柔度杆或细长压杆：,弹性失稳,
12、三、临界应力总图,(b ),例6 一压杆长 l =1.5 m，由两根56568等边A3角 钢组成，两端铰支，压力F = 150 kN, p = 101, s = 62，试求临界压力。,解：一根角钢：,z,y,(端视图),图示两根角钢组合之后：,应由“经验公式”来求：,l = 1.5 m，F = 150 kN，p = 101， s = 62，, 为中柔度杆。,END,临界压力：,其中a、b查表9-2得：,nst 实际工作安全系数 nst 规定的安全系数,安全因数法， 压杆的稳定条件为 ：, F st-稳定许用压力,st -稳定许用应力,9.5 压杆的稳定校核,例7 图示结构，杆1、2 的材料、长
13、度均相同。 E = 200 GPa，l = 0.8 m, p= 99.3, s= 57, cr= 304 -1.12 (MPa), 若稳定安全系数nst=3,求许可载荷 F 。,解：,s ,例7 图示结构，杆1、2 的材料、长度均相同。 E = 200 GPa，l = 0.8 m, p= 99.3, s=57, cr= 304 - 1.12l (MPa), 若稳定安全系数nst= 3,求许可载荷 F 。,解：, 由平衡条件有：, 2杆首先失稳,nst= 3,END,例8 图示钢杆，材料E = 200 GPa，比例极限 p = 200 MPa，屈服极限 s = 240 MPa， 经验公式 cr
14、= 304 -1.12 (MPa)，求其工作安全系数。,A,B,C,F=30kN,900mm,800mm,解：,再求各段杆的：,A,B,C, AB段：两端固定：, BC段：一端固定， 一端铰支：,900mm,800mm,F=30kN,A,B,C, AB段：两端固定：, BC段：一端固定， 一端铰支：,900mm,800mm,F=30kN,END,规定的安全系数： n st = ? 许用轴压力： F st = ?,例9 图示正方形结构，五根圆杆直径为d = 40 mm，a = 1 m，材料相同，弹性模量E = 210 GPa，比例极限 p = 210 MPa，屈服极限s = 240 MPa，稳定安全系数 nst = 1.89，材料 = 160 MPa，求结构许可载荷 F 。,
