北大金秋营数学2017年

《北大金秋营数学2017年》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北大金秋营数学2017年（1页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

2017 年北大数学金秋营试题 1、已知三角形 ABC 外心为 O，BOAC=F,COAB=E,FE 的中垂线交 BC 于 D,DEBF=M,DFCE=N,若 EM,FN 的垂直平分线交于 EF 上一点 K,求证：BAC= 60。2、已知 m=42，且集合 S=1,2,51m,A 为 S 的子集，且满足|A|=50m, 证明：存在 X，Y S，使得(1) X Y=Y A = A X = ；（2）X 的所有元素之和与 Y 的所有元素之和相等； （3）X 的所有元素平方和与 Y 的所有元素平方和相等；3、给定素数 p，已知正整数 n,a，且 gcd（a,p）=1，证明：存在无穷多个正整 数 k,使得|(-a)。4、正实数 ，i=1,2,n 满足 , i=1,2,n,求 的最小值，满足2. = 1 = 1 = 15、实数 0, i=1,2,n 满足=0,试求 的最小值。 = 1 = 12 = 1126、若0，n的 n 元子集 S 满足:0S,nS.若x+y|x,yS恰有 2n 个元素，则 称 S 为 n-好的，求 n-好的 S 的总数。7、函数 f:RR 满足：x,yR,f(f(x)+y)=f(f(y)-x)+2x,求所有的 f.8、给定正整数 p,q,求证：对于任意的素数 r 满足 0qpr，存在 n 使得 r|()