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1、1.6 极限的运算法则,1. 极限的四则运算法则,2. 复合函数的极限运算法则,3. 无穷小与无穷大的关系,定理:在同一过程中,两个无穷小的和(或差)仍是无穷小,证明,设,1. 极限的四则运算法则,无穷小的运算：,无穷多个无穷小的和（或差）未必是无穷小.,推论 在同一过程中,有限个无穷小的和（或差）仍是无穷小,注意,定理 局部有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证明,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 两个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,例,有限个无穷小的乘积也是无穷小.,极限运算法则:,定理,证明,（无穷小）,（无穷小）,（局部有界量）,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么
2、 是否有极限？为什么？,解,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,想一想,应用四则运算法则时,要注意条件:,参加运算的是有限个函数,它们的极限都,商的极限要求分母的极限不为0.,不要随便参加运算,因为,不是数,它是,表示函数的一种性态.,存在,注意,推论1,常数因子可以提到极限号外面.,推论2,例,解,例,小 结,解,例,(消去零因子法),解,例,解,练一练,例,解,先作恒等变形,和式的项数随着n在变化,再求极限.,使和式的项数固定,不能用运算法则.,方 法,解,练一练,例,解,原式=,定理,证明:,2. 复合函数的极限运算法则,证明:
3、,例,意义:(用变量代换求复合函数的极限）,例,解1,原式=,解2,原式=,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,证,定理,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,2.无穷小与无穷大的关系,此时对,使得当,关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,定理,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,此时对,使得当,解,商的法则不能用!,由无穷小与无穷大的关系,得,例,商的法则能用!,不定,注意,两个正 无穷大之和仍为正 无穷大;,易证明,例,不定,不定,不定,(负),(负),解,原式=,例,例,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分
4、子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,解,练一练,解,分子有理化,练一练,试确定常数,解,使,练一练,例,解,例,解,一般的：,(4)函数的子列定理：,其它极限过程，其它极限结果，子列定理也有相应的形式,推论1：,推论2：,如,是无界函数,但 不是无穷大,因为取,而取,当,f (x)不是无穷大!,y=xsinx在 无界，但不是无穷大,是无界函数!,A. 无穷小量,B.无穷大量,C. 有界量非无穷小量,D.无界但非无穷大量,D,练一练,(无界),(非无穷大量),小结,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法;,a.多项式与有理函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. f.变量代换求复合函数的极限,作业 P45 1, 2, 3 , 6,
