人工智能 模糊计算

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1、模糊计算,计算机科学 黄巍,模糊性与随机性的区别,随机性 事件本身具有明确含意； 事件是否出现的不确定性； 0,1上概率分布函数描述。 模糊性 事物的概念本身是模糊的； 概念的外延的模糊不确定性：模糊性； 0,1上的隶属函数描述。,武汉工程大学 智能科学与技术,2,模糊集合(Fuzzy Sets),武汉工程大学 智能科学与技术,3,论域U到0,1区间的任一映射 ，即 ，都确定U的一个模糊子集F；称为F的隶属函数或隶属度。在论域U中，可把模糊子集表示为元素u与其隶属函数 的序偶集合，记为：(4.7),模糊集合和经典集合的区别,经典集合：具有某种特性的所有元素的总和。模糊集合： 在不同程度上具有某

2、种特性的所有元素的总和。,武汉工程大学 智能科学与技术,4,如何构造模糊集？,隶属函数的性质： 定义为有序对； 隶属函数定义在论域U上，取值在0和1之间； 其值的确定具有主观性和个人的偏好。 构造模糊集就是要： 确定合适的论域； 指定适当的隶属函数。,武汉工程大学 智能科学与技术,5,离散形式的模糊集合表示,例1：X=上海，北京，天津，西安为论域，则模糊集合 “我喜欢的城市”可以表示为：C = (上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6) 或C = 0.8 /上海 + 0.9 / 北京 + 0.7 /天津 + 0.6 / 西安,武汉工程大学 智能科学与技术,6,离散

3、形式的模糊集合表示,例2：设X=1, 2, 3, 4, 5, 6为论域，则模糊集合 “合适的可拥有的自行车数目”可表示为 C= (0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1.0),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1) 或 C=0.1/0+0.3/1+0.7/2+1.0/3+0.7/4+0.3/5+0.1/6,武汉工程大学 智能科学与技术,7,连续形式的模糊集合表示,例2：令U = R+ 为人类年龄的集合，若模糊集合 B = “50岁左右的年龄”，则B可表示为：，其中：或,武汉工程大学 智能科学与技术,8,武汉工程大学 智能科学与技术,9,模糊集合的支集(Support）,

4、模糊集合的支集：若某集合是论域U中所有满足 的元素u构成的集合，则称该集合为模糊集F的支集，即：F的支集 注意：模糊集合的支集是经典集合而不是模糊集合。（书上的定义是错误的）,4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,10,模糊集合的核（Kernel）,模糊集合的核：若某集合是论域U中所有满足 的元素u构成的集合，则称该集合为模糊集F的核，即：F的核 注意：模糊集合的核是经典集合而不是模糊集合。,4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,11,模糊集合的 截集（ Cut）,模糊集合的 截集：若某集合是论域U中所有满足 的元素u构成的集合，则称该集合为模糊集F的 截集，即：F的 截集

5、 注意：模糊集合的 截集是经典集合而不是模糊集合。,4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,12,交叉点（Crossover point）,模糊集合的交叉点：若U中的某个元素x满足 ，则称该元素x为模糊集F的交叉点。 注意：模糊集合的交叉点是论域中的一个元素而不是一个集合。（书上漏掉了这个定义）,4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,13,支集、核、 截集、交叉点,4.3 模糊计算,隶属度,X,.5,1,0,核,交叉点,支集,a 截集,a,武汉工程大学 智能科学与技术,14,模糊单点（Fuzzy Singleton）,模糊单点：若论域U的某个模糊子集F的支集仅包含一个元素x，

6、且 ，则称模糊集合F为模糊单点。 （书上的定义是不清晰的） 换句话说，模糊单点中仅有一个元素的隶属度为1，其它元素的隶属度都为0。,4.3 模糊计算,0,武汉工程大学 智能科学与技术,15,正态模糊集（Normality）,正态模糊集：以实数域R为论域的模糊集F，若满足则称模糊集合F为正态模糊集。 换句话说，模糊集F为正态模糊集等价于F的核不为空集。,4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,16,凸模糊集（Convexity）,凸模糊集：以实数域R为论域的模糊集F，若对于任意的实数a，b和x，且 ，有则称模糊集合F为凸模糊集。,4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,17,模糊

7、数（Fuzzy Number）,模糊数：若模糊集F既是正态模糊集又是凸模糊集，则称模糊集合F为模糊数。 换句话说，模糊数应该满足3个条件： F的论域U为实数域R； F的核不为空集（正态模糊集）； 对于任意的U中的元素a，b和x，且 ，有 （凸模糊集）。,4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,18,设A和B为论域U中的两个模糊集，其隶属函数分别为 和 ，则对于所有 ，存在下列运算： A与B的并（逻辑或）记为 ，其隶属函数定义为：(4.10) A与B的交（逻辑与）记为 ，其隶属函数定义为：(4.11) A的补（逻辑非）记为 ，其隶属函数定义为：(4.12) 子集： 相等：,模糊集的运算,

8、4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,19,直积（笛卡儿乘积，代数积）,若 分别为论域 中的模糊集合，则这些模糊集合的直积是论域的笛卡尔空间 中的一个模糊集合，其隶属函数为：(4.13),4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,20,模糊关系,若U，V是两个非空论域，则其笛卡尔集UV中的模糊子集R称为从U到V的模糊关系，表示为：(4.14),4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,21,复合关系（1）,若R和S分别为UV和VW中的模糊关系，则R和S的复合是一个UW上的模糊关系，记为：(4.15),其隶属函数为：(4.16),上式中的 * 号可为三角范式内的任意一种算子

9、，包括模糊交、代数积、有界积和直积等。,4.3 模糊计算,复合关系（2）,上式中的 * 号可为三角范式内的任意一种算子，包括： 模糊交： 代数积： 有界积：强积：,武汉工程大学 智能科学与技术,22,4.3 模糊计算,复合关系（3）,通常计算复合关系时使用的三角范式内的算子为模糊交和代数积，即复合关系的隶属函数为：,武汉工程大学 智能科学与技术,23,4.3 模糊计算,复合关系（4）,武汉工程大学 智能科学与技术,24,4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,25,语言变量（1）,一个语言变量可定义为多元组 。其中，x为变量名； 为x的词集，即语言值名称的集合；U为论域；G是产生语言值

10、名称的语法规则；M是与各语言值含义有关的语法规则。,4.3 模糊计算,语言变量（2）,如果我们将“温度”视作一个语言变量，亦即 x = 温度，那么措词集可以是以下之集合： 论域 U 可定义于 0, 50 之区间； 产生 T(x) 的句法规则 G 就是一种很直觉的方式，例如用来形容温度的措词，不外乎是形容它的温度高低，而不会用“老”或“快”来形容它。,武汉工程大学 智能科学与技术,26,4.3 模糊计算,语言变量（3）,M定义了这些语言值的相关隶属函数，譬如说： M(低) = 温度低于10的模糊集合，其隶属函数为 。 M(中) = 温度接近25的模糊集合，其隶属函数为 。 M(高) = 温度高于

11、35的模糊集合，其隶属函数为 。,武汉工程大学 智能科学与技术,27,4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,28,模糊逻辑推理,模糊逻辑推理是建立在模糊逻辑基础上的不确定性推理方法，是在二值逻辑三段论基础上发展起来的。这种推理方法以模糊判断为前提，动用模糊语言规则，推导出一个近似的模糊判断结论。已经提出了Zadeh法，Baldwin法、Tsukamoto法、Yager法和Mizumoto法等方法。 本课程介绍Zadeh法。,4.3 模糊计算,模糊命题,原子模糊命题应该被看作一个模糊集合。 模糊合取、模糊析取和模糊蕴涵。它们都被看作模糊关系。 模糊合取： 模糊析取： 模糊蕴含：有多种形

12、式，如课本定义4.14。现在假设采用基本蕴含形式，即其中 和 分别表示三角范式和三角协范式的一种算子。,武汉工程大学 智能科学与技术,29,4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,30,广义取式假言推理法(GMP)推理规则可表示为：前提：x为A规则：若x为A，则y为B结 论：y为B 广义拒式假言推理法(GMT, Generalized Modus Tollens) 的推理规则可表示为：前提：y为B规则：若x为A，则y为B结 论：x为A,4.3 模糊计算,模糊推理的一个例子,输入： x is A模糊规则：If x is A, Then y is B结论： y is B(需要推理的) 若模

13、糊关系 AB 是以基本蕴含形式表示，更具体： 则,武汉工程大学 智能科学与技术,31,4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,32,模糊判决方法,在推理得到的模糊集合中取一个相对最能代表这个模糊集合的单值的过程就称作解模糊或模糊判决（Defuzzification）。模糊判决可以采用不同的方法：重心法、最大隶属度方法、加权平均法、隶属度限幅元素平均法。 下面介绍各种模糊判决方法，并以“水温适中”为例，说明不同方法的计算过程。这里假设“水温适中”的隶属函数为：= X: 0.0/0 + 0.0/10 + 0.33/20 + 0.67/30 + 1.0/40 + 1.0/50+ 0.75/6

14、0 + 0.5/70 + 0.25/80 + 0.0/90 + 0.0/100 ,4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,33,重心法就是取模糊隶属函数曲线与横坐标轴围成面积的重心作为代表点。理论上应该计算输出范围内一系列连续点的重心，即(4.35) 但实际上是计算输出范围内整个采样点的重心，用足够小的取样间隔来提供所需要的精度，即：,=48.2,4.3 模糊计算,重心法,武汉工程大学 智能科学与技术,34,这种方法最简单，只要在推理结论的模糊集合中取隶属度最大的那个元素作为输出量即可。要求这种情况下其隶属函数曲线一定是正规凸模糊集合（即其曲线只能是单峰曲线）。,例如，对于“水温适中”

15、，按最大隶属度原则，有两个元素40和50具有最大隶属度1.0，那就对所有取最大隶属度的元素40和50求平均值，执行量应取：,4.3 模糊计算,最大隶属度法,武汉工程大学 智能科学与技术,35,系数加权平均法,系数加权平均法的输出执行量由下式决定：(4.36)式中，系数的选择要根据实际情况而定，不同的系统就决定系统有不同的响应特性。,4.3 模糊计算,武汉工程大学 智能科学与技术,36,用所确定的隶属度值对隶属度函数曲线进行切割，再对切割后等于该隶属度的所有元素进行平均，用这个平均值作为输出执行量，这种方法就称为隶属度限幅元素平均法。,例如，当取为最大隶属度值时，表示“完全隶属”关系，这时1.0。在“水温适中”的情况下，40和50的隶属度是1.0，求其平均值得到输出代表量：,