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一、Taylor 级数,熟知,现讨论任意 f(x) 展开成如下形式的幂级数问题：,问题:,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,1.如果能展开, 各个系数是什么?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,例如,例4,解,三个基本展开式,三. 欧拉公式,思考题,运用例3中求级数和的类似方法, 求下列幂级数的和:,思考题,利用幂级数展开式, 求极限,思考题解答,将上两式代入,原式=,
