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1、第一章 静电场,例1：在半径为a 的球体内，电荷均匀分布，总电荷量为 q，求各点的场强 E，并计算场强 E 的散度和旋度。,解：由于电荷分布的球对称性，场强 E 只有沿r方向的分量，并且在与带电球同心的球面上电场的值处处相同。因此在 的区域内，可取半径为r 的同心球面为高斯面，如题1图（a)所示。高斯面上各点的场强 E 与面元ds的方向相同。由高斯定理，有,所以,在 的区域内，同样可作出半径为 r 的高斯球面。于是有,式中 q 为高斯面内的电荷，其值为,所以,当 时，由上面的推导结果得出相同的 E 值为；,下面计算电场的散度和旋度。在 的区域内，有,当 时，即超过这个表面时电场是连续的。关于上
2、面的结果示于图1 (b) 中。,在 的区域内，有,例2：球形电容器由半径为 R1 带电为 Q 的导体球和与它同心的导体球壳构成，其间充有 r1、r2 两种介质，求：(1)场强分布；(2) 两极间电势差；(3) 电容 C 。,解： (1),I区：导体内： E1=0 ；,II区：作高斯球面,III区：同理,导体内 ( R3 r R4 ),IV区：,V区： ( R4 a）。求： (1)导体球接地时空间电位分布及电荷Q 受电场力； (2)导体球未接地时空间电位分布及电荷Q受电场力；,解:(1)当导体球接地，由镜像法，原问题可等效为空间只存在Q和镜像电荷q，不存在边界的问题。 易知：,则球外空间任意点
3、处电位为：,导体球接地，因此球内空间电位为0。,电荷 Q 受静电力为：,(2) 当导体球不接地时，由镜像法，该问题可用右图表示,空间只存在 Q 和镜像电荷q 和 q ，不存在边界的问题。 易知：,位置位于球心。,则球外空间任意点 处电位为：,例6：两块无限大接地导体平面分别置于x=0 和 x=a 处，其间在 x=x0 处有一面密度为 S0 的均匀电荷分布，如下图所示。试用边值问题求两导体板之间的电场和电位。,解：电位仅是 x 的函数，满足一维拉普拉斯方程，所以,由此可解得,边界条件为,于是有,得到,，,，,所以,例7：今有一球形薄膜导体，半径为R ，其上带电荷q ,求薄膜单位面积上所受膨胀力。
4、,解：孤立导体球电容为,利用虚位移法求力，采用球坐标系，原点置于球心，选虚位移量 g为 R ，则有,fR 的方向与 R 增大的方向相同，故为膨胀力。单位面积上的力为,该膨胀力是由于电荷同号相斥面产生的。,例8 一个半径为 a 的导体球，带电量为 Q ，在导体球外套有外半径为 b 的同心介质球壳， 壳外是空气，如图所示。求空间任一点的E、D、P 以及束缚电荷密度。,解：介质内： a r b,束缚电荷体密度为： 采用球坐标,介质内表面 r = a 的束缚电荷面密度为,介质外表面 r = b 的束缚电荷面密度为,例9：同心导体球的内导体半径为a ，外导体的内半径为 b，其间填充两种介质，上半部分的介
5、电常数为1 ，下半部分的介电常数为2 ，内导体表面带电量为Q，如图所示。试求两球之间的电位移矢量和电场强度及内球所受到的电场力。,【解】因介质分界面上电场强度的切向分量连续,Q,且场强只有沿径（切）向方向分量，所以,在半径为r (a r a，则,例11：空气中放置两根无限长平行圆柱，半径均为6cm ，轴线距离为20cm ，若导线间加电压为1000V。求: (1) 电场中的电位分布；(2)导线表面电荷密度的最大值和最小值。,解：,用电轴法求解，如图确定电轴的位置，有,(1) 电场中的电位分布,所以有,设+l圆柱电位(A点)为1，-l 圆柱电位(B点)为2，则两柱之间电压为：,(2) 由图可见在B
6、点处，场强和电荷面密度最大；在C点处场强和面密度最小，有,最后得电位分布有,例12：真空中一点电荷q2位于半径为R导体球附近，距球心d (d R)，导体球带电荷为q1 ，若这两点电荷均为正电荷，求q2受电场力？问导体球与点电荷q2可否相吸引？,解：,用球面镜像法求解，如图确定反演点及镜像电荷q和q的位置，有,同时导体球所带电荷q1也应置于球心位置,这样点电荷q2 所受到导体球和 q1 的作用力，就等效成 q和 q1 +q对它的作用力，利用库仑定律，直接得到q2 所受到力为,要使导体球和 q1 的作用力为吸力，则 f 方向与正 x 轴相反，得,即,例13 平板电容器的长、宽、高为 ，同样尺寸的介
7、质块处于如图位置，介质块的相对介电常数为 ，两板之间的电位差保持不变，为 ，求作用与介质块上的电场力 。(忽略极板边缘效应）,解：平行板电容器中的储能为（忽略极板边缘效应）,电压U0不变，设位移变化量为 x ，静电力为,因为Fe 沿 x 轴正方向，因此介质块受到的力为向极板内的吸力。,例14、请简要回答下面问题。（1）在静电场中，等位面上的电位处处相等，因此场强的数值也一样，正确么？请举例说明。,答：上述说法是错误的，因为在静电场中， ，即场强值在空间中是电位的最大变化率，但其方向是沿电位最大减小率的方向。,而电位大小是与场强大小无关的。例如：静电场中的导体表面处处为等位面，导体表面的场强处处
8、与导体垂直，但场强各处的大小与导体的各处的曲率半径有关，曲率半径小的地方电荷面密度大，则场强也大。如图所示。,而电位为,如图所示。即是随电容器内空间位置而变化的。,(2)场强处处相等的区域，电位一定处处相等？,答：同上面问题一样是不正确的。在场强处处相等的区域，电位是空间坐标的函数，不一定处处相等。,例如：充电的平行板电容器内场强处处相等为,（3）如图所示以带电量为 q 的球体，在其附近有一介电系数为 的电介质，问下列情况是否成立：,答：(a) 、(b)、(c)、(e) 是正确的。(d) 电位移 D 与 q 及电介质的性质及分布有关，故(d) 项不成立,第二章 恒定电场,例1：一平行平板电容器
9、充满两层厚度各为 和 的电介质，它们的电导率和介电常数分别为 和 , 当外加电压为U0时 ，求(1)通过电容器的电流；(2)充电时积聚在分界面上的自由电荷面密度。,解（1）设通过电容器的电流为I，略去边缘效应，则两媒质中的电流密度为,两媒质中的电场分别为,所以,两层介质表面电荷面密度为,上下导体表面电荷面密度为,通过电容器的电流和电流密度分别为,两种媒质中的电位移矢量分别为,例2：一球形理想导体电极深埋于地下，已知土壤中的电导率为 ，介电系数为 ，并已知流入此电极的总电流为 I ，如下图所示。求土壤中的 J、E、U 和 D。,解：此恒定电流场问题可以与无限均匀电介质 中带电荷 Q 的导体球的静
10、电场问题相类比。设坐标系原点位于球心处，该静电场问题的 D0 、E0 、U0 解表达式已在前面的习题中得为,利用静电比拟关系，将上面各式中的 Q 换成 I， 换成 ，得到恒定电流场中的场量 J、E、U ，即,恒定电流场中的 D 没有静电场的量与之对应，需通过恒定电流场中的电场强度 E 和土壤的介电系数 计算，即,例3：在一块厚度为 h 的导电板上，由两个半径分别为r1和r2的圆弧面与两个夹角为 的平面割出一块扇形体，如下图所示，导体材料的电导率 为常数。求：(a) 上下平面之间的电阻；(b) 两圆柱弧面之间的电阻；(c) 两侧平面之间的电阻。,解：（a）设上、下两平面之间的电压为,其中 S 为
11、扇形面积：,代入上式得,故上下平面之间的电阻为,实际上，上下两面之间的柱体是一个均匀截面柱体，若直接利用公式计算电阻，其步骤将会更简单。,（b）此时电流方向的横截面随 r 变化。其中，截面积,因,所以,（c）此时电流方向的横截面沿 变化。则采用边值问题求解，应用拉普拉斯方程，并采用柱坐标系。因弧片很薄，可以认为电位 只是 的变量，电位方程为,即,通解,边界条件,求出待定系数,得弧片中电位函数的解为,利用电位梯度求出场强解，并解出电流密度失量,弧片中总电流,弧片中电阻,计算电阻或电导的步骤：,（1）利用静电比拟方法，导出两电极之间电容和电导的关系：,（2）利用拉普拉斯方程，求出 ，再求E、J、I
12、 ：,例4：设同轴线的内导体半径为a , 外导体的内半径为b，内、外导体间填充电导率为 的导电媒质，如下图所示，求同轴线单位长度的漏电导。,解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体， 设流过半径为 r 的任一同心球面的漏电电流为 I ，则媒质内任一点的电流密度和电场为,同轴线横截面,内、外导体间的电压为,单位长度漏电电导及电阻为,也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R 求出漏电电阻 R ：,同轴线填充两种介质，结构如图所示。两种介质介电常数分别为 和 ，导电率分别为 和 ，设同轴线内外导体电压为U0 。 求：(1) 导体间的 (2) 分界面上自由电荷分布,【例5】,解：1）这是
13、一个恒定电场边值问题。不能直接应用高斯定理求解。,设单位长度内从内导体流向外导体电流为I 。,由边界条件，边界两边电流连续。,则：,由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：,在 面上：,在 面上：,在 面上：,2）由边界条件：,例6：一个半径为的半球形接地导体埋于电导率为 的土壤中，如下图所示。 （1）请导出计算接地电阻的公式; （2）若a=0.2m、OA=5.2m，该地段的大地电导率为10-4S/m，行人前落脚点在A，后落脚点在点B，跨距为0.8m ，若设流入接地导体中的电流 I= 100 A ，请计算跨步电压。,解：（1）采用镜像法，作半球的镜像，如图虚线所示。设流入球的电流为 I ，则导体球的电流密度分布为,
