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1、第八章 向量值函数的曲线与曲面积分,1.向量值函数在有向曲线上的积分； 2.格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件； 3.向量值函数在有向曲面上的积分； 4.高斯公式与斯托克斯公式； 5.场论简介,8.1.向量值函数在有向曲线上的积分,1.向量场概念； 2.第二型曲线积分的概念； 3.第二型曲线积分的计算。,1.向量场概念,（1）第二型曲线积分的常见形式-当L是一条平面或空间曲线，分别有如下积分符号：,那么，这样的积分符号表达的是什么意思呢？,它们又是怎样计算的呢？,（2）第二型曲线积分的向量表示：引入向量符号,（1）,（2）,；,这样形式的积分被称作第二型曲线积分。,则（1）式的积分可以记为
2、,类似，积分（2）也可以表示为三维向量（值函数） 内积的积分。,（3）,如上可以看出，第二型曲线积分与向量值函数有关。从物理学的角度看，此类积分与“场”的概念有密切 的关系。,（3）“场”的概念-在物理学中，经常遇到各种所谓的“场”，比如说“磁场”、“引力场”、“流速场”等等。从物理学的角度讲，所有的场，其共同点是：,在空间（三维的或二维）的每一个点处，都对应着一 个确定的数值或向量，前者称为数量场，后者称为向 量场（如果数值有正有负，都可以看做向量场）。,从数学的角度讲，所有的这些“场”，都是函数。,平面或空间数量场（标量场-仅取非负数值），可以 分别看做二元或三元数量值函数；平面或空间向量
3、 场，分别是二元或三元的向量值函数（映射）。,因为力是向量，所以力场显然是向量场。,引入第二型曲线积分的一个基本问题是关于力场作功 的计算问题。,2.第二型曲线积分的概念,（1）引例,一运动质点在一个力场中从A点运动到B点，其运 动轨迹是一曲线L，求力场对该质点所做的功。,假设向量值函数（力场）是常值函数，所求为一内 积。但是如果向量值函数不是常值函数，即在空间或 平面上不同的点所对应的向量（力）大小和方向也是 不同的，那么所求的功，可以考虑如下合理的近似计 算方式：,（i）分割运动轨迹为若干小段；,（ii）先做每小段的近似计算（替代-也是向量内积）；,（iii）将所有各个小段上的近似值做和（
4、称为积分和）；,（iv）求分割无限加细的时候，上述积分和的极限。,即,该式便是第二型曲线积分（1）或（2）的定义式。,（4）,（2）第二型曲线积分的定义及其符号表示的说明,（i）有向曲线弧段-起始点与终点（注：如果用参数 表示，这里暂时先约定参数增加对应曲线的正方向）。,如果 表示一条有向曲线，则 表示与 取向相反 的曲线。,（ii）曲线有向分划，“微小位移向量”与位移微分：,空间曲线分割点表示：,平面曲线分割点表示：,下面以空间曲线为主，约定有向曲线段的起始点为,在这里我们称为“微小位移向量”。有向弧微元，或,记,（iii）空间有向曲线段上的第二型曲线积分定义：,设,或表示为,是定义在三维空
5、间某个区域中的向量值函数， 是在该 区域中的一条有向（从A到B）曲线段。 表示该曲线的 有向分划，如果对于从 到 的弧段上选取的任意点，存在极限,称位移微元为：,记,称为有向曲线L上的第二型曲线积分，并可记为,也称为关于坐标的曲线积分。,注1：如果是平面曲线，定义是类似的，但是坐标积 分的记法就是,注2：很显然，这个积分与曲线的定向是有关的。,（iv）第二型曲线积分表示为第一型曲线积分,注意到,弧微分,其中 是曲线在点 处的切向量。,因此,第二个等号后面的式子，就是第一型曲线积分了。,注：这也是教材中所给出的定义，其中特别要求切向 量的指向与曲线的定向一致。,（v）曲线参数表示情况下的第二型曲
6、线积分表达,假设平面或空间曲线L,由如下参数表示,则弧微分是,单位切向量为,并且,（起点）,（终点）,于是,这个关系也提供了计算第二型曲线积分的主要方法。,（3）基本性质：（i）与函数的线性运算可交换； （ii）对曲线的可加性（与定向协调）； （iii）相反定向曲线的第二型曲线积分值相反。,（5）,3.第二型曲线积分的计算,（1）前面给出的关系式（5），就是计算第二型 曲线积分的基本公式。不难验证：由参数表示的定积分中上、下限的大小，与第二型 曲线积分的计算结果没有关系。第二型曲线积分仅与其定向有关，与参数表示形式 无关。,（2）如果平面有向曲线是函数曲线，比如可以由函 数 或者 表示，则分别
7、有,注：上、下限分别对应曲线段的起点与终点。,【例8-1】计算曲线积分 ，L为椭圆周x=acost，y=bsint上对应于t 从0到 的一段弧,【例8-3】计算曲线积分 其中L是抛物面 与平面 z=3的交线，从 z 轴正向往负向看，其方向为逆时针这里积分号 表示沿闭合曲线L积分,注：如果在一段曲线L上某个坐标不变，比如说x不变（恒为 ），则关于x坐标的积分就是0，即,接续【例8-3】,解：由已知，L的方程为,消去z得,可设L的参数方程为：x=cost，y=sint，z=3( ),所以,讨论。,接续【例8-4】,解：有向线段OA的方程为,x由0变到1，因此dy=0dx，dz=0dx，从而有,有向
8、线段AB的方程为,y由0变到1，因此dx=0dy，dz=0dy，从而有,有向线段BC的方程为,z由0变到1，因此dx=0dz，dy=0dz，从而有,故,8.2 格林公式 平面曲线积分与路径无关的条件,1.格林公式 2.平面曲线积分与路径无关的条件 3.原函数与全微分方程,1.格林公式,格林公式，可以看做一般的斯托克斯公式的特例， 也可以看做牛顿-莱布尼茨公式的推广。而一般形式 的斯托克斯公式，也被称为整个微积分学的基本定 理。牛顿莱布尼茨公式，仅仅是一元微积分学的基 本定理。,解释和证明一般形式的斯多克斯公式属于高级微积 分学，需要较多的其它方面的数学知识。,这里只对格林公式作较详细的阐述。理
9、解其基本 内涵，对于较深刻的理解微积分学是有意义的。,（1）几个预备概念,（i）平面区域的单连通；复连通； （ii）平面连通区域边界曲线的定向约定；,（iii）使复连通区域转换为单连通区域的“手术” -增设边界曲线。,（2）格林公式（定理）,其中 是单连通区域； 是该区域的定向边界曲线， 且分段光滑； 与 都是在区域内具有连 续偏导的二元函数。,（i）定理内容：有如下等式,注：该公式对于有有限个洞的复连通区域也是成立的。,适当手术转换为单连通区域 -增加区域内的切割线，使其转换为单连通区域 -并注意边界曲线的定向以及曲线积分的方向规定。,（ii）公式证明简述,首先考虑曲线所围区域兼有x型区域和
10、y型区域特 点的情况，分析积分，可得公式成立；,然后考虑将一般区域分割成若干此类区域（可以无 限），以及新增边界（复式边界）上积分的抵消。,（3）利用格林公式做积分计算,【例8-5】计算 其中L是 （图8-8），取正向,【例8-6】计算 其中L是由直线 x+y=1位于第一象限的线段及圆弧 x2+y2=1位于第二象限的部分组成，方向如图8-9所示,接续【例8-6】,解：作线段 ，则 构成闭曲线ABCA，取正向，设其所围成的区域为D，P=x2-2y，Q=3x+ye y 在D上满足格林公式条件，所以有,又CA的方程为,故有,于是,接续【例8-7】,解： （1）因为被积函数中的(x,y)位于曲线L上，
11、故满足L的方程，因而先将L的方程x2+y2=a2(a0)带入被积函数表达式化简，再用格林公式有,（2）设D是闭曲线L所围的区域，当点 时，函 数 在D内具有一阶连续 偏导数，且,由格林公式得,当点 时， 在D内存在间断点(0,0)，故不能直接应用格林公式。取充分小正数r，以原点O为圆心，以r为半径，在D内作一个小圆周l，并设L与l所围成的区域为D1，如图8-10所示.,函数P,Q在D1上满足格林公式条件，所以,于是,其中l - 表示与l方向相反的闭曲线.,设l - ： 则有,故,注意：在格林公式中，若取P= -y, Q=x，则有,这恰是区域D的面积.因而可用下列公式计算区域D的面积：,【例8-
12、8】求椭圆 x=acost，y=bsint 所围图形的面积,注：利用上述公式，代入参数直接计算。,2.平面曲线积分与路径无关的条件,（1）讨论两个问题,（i）如果曲线积分与路径无关，仅仅与曲线的起 点与终点有关，会给积分的计算带来什么便利？,（ii）能不能举一个物理学中的例子，说明积分与 曲线所选择的路径无关。什么情况下可能是有关的呢？,（2）平面曲线积分与路径无关的条件（定理8-2）,在平面区域内两个被积函数都有连续的一阶偏导，,则如下四个命题等价：,（i）对区域内任意一条分段光滑的封闭曲线L,（ii）对于区域内的任何一条分段光滑的曲线段L（不 必封闭），曲线积分 的值与路径无关；,（iii
13、）存在区域内的某个二元函数u(x,y)，使得,即 是某个函数的全微分；,；,（iv）在区域内下面等式处处成立,注：显然（i）（iii）（iv）都是平面曲线积分与路径无关的充要条件。,证明简述：循环证明，其它的都很显然，只有（ii） 推（iii）需要做一点说明。关键是构造一个原函数,因为积分与路径无关，该函数是合理定义的。,注1：这里也给出了 是某个函数的全微分的 充要条件。在很多情况下是很有用处的。包括解方程。,注2：条件中要求函数定义域是单连通的很重要。例如,利用定义求偏导，根据条件得其微分。,尽管有,但在原点出，两个函数都不连续，上面的偏导自然在 原点处不连续。前一节的例题8-7表明，在曲
14、线所围区 域含有原点的情况下，围道积分的值不是0.,注3：显然，在曲线积分与路径无关的时候，计算曲线 积分，可以换一条易于计算的路线，不拘泥于原来所 给的曲线。,（3）利用与路径无关的条件计算积分的例子,分析：先观察积分是否用途路径无关；如果积分与路径无关，寻找最简明的积分路线。具体计算如下：,接续【例8-9】,解：,对于I1，由,知，积分与路径无关，选择线段 故,对于I2，L的参数方程为：,故,接续【例8-9】,接续【例8-10】,解：（1）由已知积分与路径无关，故,所以,即,解一阶线性微分方程得,由f (1)=2，可得c=1，故,（2）由已知积分与路径无关，选择折线（图8-14）：,故,3.全微分形式的原函数与全微分方程,（1）二元函数的原函数概念,注：这里的原函数概念，是对一个全微分形式而言的， 事实上是相对于一对函数二元而言。比如说一对函数 P，Q，,如果满足都有连续的一阶导数，且满足,则有具有连续二阶偏导数的函数u(x,y)（可以相差一 个常数项）,使得：,（2）求二元原函数-全微分求积-解全微分方程,（1）全微分求积，本质上是计算两个一元函数的 不定积分。,【例8-11】验证 是某一函数 u(x,y) 的全微分，并求出它的一个原函数,
