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1、1第第1页页安徽建筑工业学院电信学院第八章 系统的状态变量分析前面几章的分析方法称为输入输出法（外部法），它强调用系统的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点：（ 1）适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统，将增加复杂性；（ 2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内部情况一无所知，也无法控制。第第2页页安徽建筑工业学院电信学院本章将介绍的 内部法 状态变量法 是用 n个状态变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系统。优点有：（ 1）提供系统的内部特性以便研究。（ 2）便于分析多输入多输出系统；（ 3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于时变系统和非线性系统。内
2、部法 状态变量法第第3页页安徽建筑工业学院电信学院 8.1 状态变量与状态方程一、状态与状态变量的概念从一个电路系统实例引入R1 R2L1 L2iL1 iL2iCuCus1us2au以 u(t)和 iC(t)为输出若还想了解内部三个变量 uC(t), iL1(t), iL2(t)的变化情况。这时可列出方程0dd12=+LLCiituC0dd11111=+SCLLuutiLiR0dd22222=+CSLLuuiRtiL=+=222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtu第第4页页安徽建筑工业学院电信学院=+=2222
3、22211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtuR1 R2L1 L2iL1 iL2iCuCus1us2au这是由三个内部变量 uC(t)、 iL1(t)和 iL2(t)构成的一阶微分方程组。若初始值 uC(t0)、 iL1(t0)和 iL2(t0)已知，则根据 t t0时的给定激励 uS1(t)和 uS2(t)就可惟一地确定在 t t0时的解uC(t)、 iL1(t)和 iL2(t)。第第5页页安徽建筑工业学院电信学院=+=)()()()()()(21222titititutiRtuLLCSL系统的输出容易地由三个内部变量和
4、激励求出：一组代数方程状态与状态变量的定义系统在某一时刻 t0的状态是指表示该系统所必需最少的一组数值，已知这组数值和 t t0时系统的激励，就能完全确定 t t0时系统的全部工作情况。状态变量是描述状态随时间 t 变化的一组变量，它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。1211111112222222d 11dd 11dd 11dCLLLCL SLCL SuiitC CiRui utLLLiRui utL L L= + = 第第6页页安徽建筑工业学院电信学院对 n阶动态系统需有 n个独立的状态变量，通常用x1(t)、 x2(t)、 、 xn(t)表示。说明 ：（ 1）系统中任何响应均可表
5、示成状态变量及输入的线性组合；（ 2）状态变量应线性独立；（ 3）状态变量的选择并不是唯一的 。在初始时刻的值称为 初始状态 。2第第7页页安徽建筑工业学院电信学院二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时，一般分两步进行：（ 1） 第一步 是根据系统的初始状态求出状态变量；（ 2） 第二步 是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系统输出。状态变量 是通过求解由状态变量构成的一阶微分方程组来得到，该 一阶微分方程组 称为状态方程。状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之间关系的一组 代数方程 称为输出方程 。通常将状态
6、方程和输出方程总称为 动态方程或系统方程 。第第8页页安徽建筑工业学院电信学院动态方程的一般形式n阶多输入 -多输出 LTI连续系统，如图 。xi(t0)f1(t)f2(t)fp(t)y1(t)y2(t)yq(t)其状态方程和输出方程为+=+=+=pnpnnnnnnnnppnnppnnfbfbfbxaxaxaxfbfbfbxaxaxaxfbfbfbxaxaxax22112211222212122221212121211112121111+=+=+=pqpqqnqnqqqppnnppnnfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcy2211221122221212
7、2221212121211112121111第第9页页安徽建筑工业学院电信学院矩阵形式状态方程 )()()( ttt BfAxx +=输出方程 )()()( ttt DfCxy +=其中 A为 n n方阵，称为 系统矩阵 ，B为 n p矩阵，称为 控制矩阵 ，C为 q n矩阵，称为 输出矩阵 ， D为 q p矩阵对离散系统，类似有状态方程)()()1( kkk BfAxx +=+输出方程 )()()( kkk DfCxy +=状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。第第10页页安徽建筑工业学院电信学院 8.2 连续系统状态方程的建立一、由电路图直接建立状态方程首先选择状态变量
8、。通常选 电容电压 和 电感电流 为状态变量。必须保证所选状态变量为 独立 的电容电压和独立的电感电流。(a) 任选两个电容电压独立(b) 任选一个电容电压独立(c) 任选两个电感电流独立(d) 任选一个电感电流独立uC1uC2 uC3uC1uC2usiL1 iL2iL3iL2iL1is四种非独立的电路结构第第11页页安徽建筑工业学院电信学院状态方程的建立：根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。由于tuCiCCdd=tiLuLLdd=为使方程中含有状态变量 uC的一阶导数 ，可对接有该 电容的独立结点 列写 KCL电流方程；为使方程中含有状态变量 iL的一阶导数 ，可对含有该 电感的独立回路
9、列写 KVL电压方程。对列出的方程，只保留 状态变量和输入激励 ，设法 消去 其它 中间的变量 ，经整理即可给出标准的状态方程。对于 输出 方程，通常可用 观察法 由电路直接列出。第第12页页安徽建筑工业学院电信学院由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：（ 1）选电路中所有 独立的电容电压和电感电流作为状态变量 ；（ 2）对接有所选 电容的独立结点 列出 KCL电流方程，对含有所选 电感的独立回路 列写 KVL电压方程；（ 3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的 KCL、 KVL方程将它们 消去 ，然后整理给出 标准的状态方程 形式；（ 4）用 观察法 由电路或前
10、面已推导出的一些关系直接 列写输出方程 ，并整理成标准形式。3第第13页页安徽建筑工业学院电信学院例 ： 电路如图，以电阻 R1上的电压 uR1和电阻 R2上的电流 iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。uCiLuR1iR2uS1 uS2LCR1 R2a解 选状态变量x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t) L1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t) xC 2(t) + iR2(t) = x1(t) x消去 iR2(t),列右网孔 KVL方程：R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0 代入整理得+=)()(1001)()(111)()(21
11、2212121tutuCRLtxtxCRCLLRtxtxss输出方程：uR1(t) = R1x1(t) +=)()(1000)()(100)()(212212121tutuRtxtxRRtitussRR第第14页页安徽建筑工业学院电信学院二、由输入 -输出方程建立状态方程这里需要解决的问题是 ：已知系统的外部描述（ 输入 -输出方程、系统函数、模拟框图、信号流图等 ）；如何写出其 状态方程 及输出方程。具体方法：（ 1）由系统的输入 -输出方程或系统函数，首先画出其信号流图或框图；（ 2）选一阶子系统 (积分器）的输出作为状态变量；（ 3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程；（ 4）在
12、系统的输出端列输出方程。第第15页页安徽建筑工业学院电信学院例 1 某系统的微分方程为y(t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) +8 f (t)试求该系统的状态方程和输出方程。解： 由微分方程不难写出其系统函数23)4(2)(2+=ssssH方法一 ：画出直接形式的信号流图1s1s1-3-228f(t)y(t)设状态变量 x1(t)、 x2(t)x1x2由后一个积分器，有21xx =fxxx +=21232由前一个积分器，有系统输出端，有 y(t) =8 x1+2 x2第第16页页安徽建筑工业学院电信学院方法二：221423)4(2)(2+=+=sssssssH画出串联
13、形式的信号流图1s-1f(t)1141sy(t)-221设状态变量 x1(t)、 x2(t)x2x1fxx +=11设中间变量 y1(t)y1fxxxy +=+=1111341x2xfxxxyx +=21212232系统输出端，有y(t) =2 x21123012121fxxxx+=第第17页页安徽建筑工业学院电信学院方法三241623)4(2)(2+=+=ssssssH画出并联形式的信号流图1s-1161s-2-41f(t) y(t)设状态变量 x1(t)、 x2(t)x1x21xfxx +=112xfxx +=2221120012121fxxxx+=系统输出端，有 y(t) = 6x1-4
14、 x2可见 H(s)相同的系统，状态变量的选择并不唯一。第第18页页安徽建筑工业学院电信学院例 2 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其状态方程和输出方程。f(t)11+s 24+ss31+sy1(t)y2(t)x2(t)x1(t)x3(t)解 对三个一阶系统211yxx =+其中， y2= f - x3fxxx +=311112242 xxxx +=+ fxx +=313fxxxx +=3212232333 xxx =+3233xxx =输出方程y1(t) = x2y2(t) = -x3 + f4第第19页页安徽建筑工业学院电信学院三、由状态方程列输入-输出方程例 3 已知某系统的动态
15、方程如下，列出描述 y(t)与 f(t)之间的微分方程。)(01)()(11)(0314)(ttytfttxxx=+=解法一 由输出方程得 y(t)=x1(t)y (t)=x1(t) = 4 x1(t) + x2(t)+ f(t)y(t)= 4 x1(t) + x2(t)+ f (t)=44 x1(t) + x2(t)+ f (t) + 3 x1(t) + f (t) + f (t)=13 x1(t) 4x2(t) 3 f (t) + f (t)y+a y + by=(13 4a +b) x1+(4+a) x2+ f (t) +(a3) f (t) a=4， b=3y+4 y + 3y= f
