《高数线性代数 第三章 线性方程组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数线性代数 第三章 线性方程组（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 线性方程组,3.1 线性方程组和Gauss消元法, 3.2 3.3,公元前1世纪,九章算术: 初等行变换, 相当于高斯消元法 17 世纪后期, 德国数学家莱布尼茨:含两个未知量三个方程的线性组 18 世纪上半叶, 英国数学家麦克劳林: 具有二、三、四个未知量的线性方程组 得到了现在称为克莱姆法则的结果瑞士数学家克莱姆不久也发表了这个法则,18世纪下半叶，法国数学家贝祖: 对线性方程组理论进行了一系列研究 证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零 19世纪，英国数学家史密斯和道奇森:前者引进了方程组的增广矩阵的概念 后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容 的充要条件是系
2、数矩阵和增广矩阵的秩相同,第三章 线性方程组,3.1 线性方程组和Gauss消元法,第三章 线性方程组,3.1 线性方程组和Gauss消元法,一. 线性方程组的概念,一般形式:,齐次线性方程组(homogeneous ),(system of linear equations),解(to solve, solution),相容(consistent),非齐次线性方程组(nonhomogeneous ),第三章 线性方程组,3.1 线性方程组和Gauss消元法, Ax = b.,解向量(solution vector),则,解集(solution set),同解(having the same
3、set of solutions),3.1 线性方程组和Gauss消元法,称A =,为(3.1)的系数矩阵,第三章 线性方程组,(coefficient matrix),(augmented matrix).,3.1 线性方程组和Gauss消元法,二. Gauss消元法(Gauss method),1/2,对换变换(swapping),倍乘变换(rescaling),倍加变换(pivoting),阶梯形方程组 (echelon form),第三章 线性方程组,3.1 线性方程组和Gauss消元法,阶梯形 (echelon form),最简形 (reduced echelon form),或写成
4、向量形式,由此可得原方程组的通解(general solution),其中c为任意数.,第三章 线性方程组,3.1 线性方程组和Gauss消元法,1. 线性方程组的初等变换,第三章 线性方程组,对换变换(swapping),(elementary reduction operations / row operations / Gaussian operations),倍乘变换(rescaling),倍加变换(pivoting),3.1 线性方程组和Gauss消元法,2. 阶梯形线性方程组的有三中基本类型.,第三章 线性方程组,例如:,3.1 线性方程组和Gauss消元法,3. 阶梯阵的形状与线
5、性方程组的解.,无解,有唯一解,有无数解,解的数目,r2 = r1+1,r2 = r1 = n,第三章 线性方程组,3.1 线性方程组和Gauss消元法,例1. 设有线性方程组,问为何值时, 此方程组 (1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解? 并在有无穷多解时求其通解.,解: 对其增广矩阵A, b作初等行变换, 化为阶梯形.,第三章 线性方程组,3.1 线性方程组和Gauss消元法,第三章 线性方程组,3.1 线性方程组和Gauss消元法,(1) 当 0且 3时, 方程组有唯一解; (2) 当 = 0时, 方程组无解; (3) 当 = 3时, 方程组有无穷多解. 此时,第三章 线性方
6、程组,3.1 线性方程组和Gauss消元法,1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0,第三章 线性方程组,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,3.2 齐次线性方程组,齐次线性方程组,零/平凡解(trivial solution), 非零/平凡解(non-),3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,一. 齐次线性方程组有非零解的条件,定理3.1. Amn x = 0有非零解r(A) n.,例2. 当 =_时, 齐次线性方程组,推论3.1. m n Amn x = 0有非零解.,推论3.2. Ann x = 0有非零解|A| = 0.,有非零解?,1或2,3.2 齐次线性方程组,
7、第三章 线性方程组,二. 齐次线性方程组的解的性质,A = 0 A(k )= k(A )= 0.,性质1. 若, 都是Ax = 0的解向量, 则 +也 是Ax = 0的解向量.,A = 0, A = 0 A( +)=A +A = 0.,性质2. 若是Ax = 0的解向量, kR , 则k也 是Ax = 0的解向量.,综上所述, 若, 都是Ax = 0的解向量, k1, k2R, 则k1 +k2也是Ax = 0的解向量.,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,V = Rn | A = 0,Ax = 0的解集,构成一个向量空间,Ax = 0的解空间.,三. 基础解系,齐次线性方程组Ax =
8、0的解空间的基称为 该齐次线性方程组的基础解系.,若1, 2, , s是Ax = 0的一个基础解系, 则Ax = 0的通解就可以表示成, =k11+k22+kss,其中k1, k2, , ks为常数.,结构式通解,(space of solutions),3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,定理3.2. 设ARmn, 秩(A) = r.,(1) 若r = n, 则Ax = 0没有基础解系; (2) 若r n, 则Ax = 0确有基础解系, 且任 一基础解系中均含有nr个解向量.,x1 = c1,r+1xr+1 + c1,r+2xr+2 + + c1nxn,x2 = c2,r+1xr+1
9、 + c2,r+2xr+2 + + c2nxn, ,xr = cr,r+1xr+1 + cr,r+2xr+2 + + crnxn,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,= xr+1 + xr+2 + + xn,定理3.2. 设ARmn, 秩(A) = r.,(1) 若r = n, 则Ax = 0没有基础解系; (2) 若r n, 则Ax = 0确有基础解系, 且任 一基础解系中均含有nr个解向量.,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,定理3.2. 设ARmn, 秩(A) = r.,(1) 若r = n, 则Ax = 0没有基础解系; (2) 若r n, 则Ax = 0确有基础解系
10、, 且任 一基础解系中均含有nr个解向量.,= xr+1 + xr+2 + + xn,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,定理3.2. 设ARmn, 秩(A) = r.,(1) 若r = n, 则Ax = 0没有基础解系; (2) 若r n, 则Ax = 0确有基础解系, 且任 一基础解系中均含有nr个解向量.,1 = ,2 = ,nr = .,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,解齐次线性方程组Amn x = 0的一般步骤,A,行 阶 梯 形,秩(A) n?,行 最 简 形,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,例3. 求,的基础解系与通解.,解:,该方程组的基础解系可
11、取为,通解为,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,注: 若依次取,则,于是得基础解系,通解,容易验证1, 2与1, 2等价.,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,另解:,该方程组的基础解系可取为,通解为,故原方程化为,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,与Ax = 0的基础解系等价的线性无关向量组 也是Ax = 0的基础解系.,定理3.3. 若A Rmn, 秩(A) = r, 则Ax = 0的任意 nr个线性无关的解向量都是Ax = 0的基础解系.,例4. 证明: (1) Ax = 0与(ATA)x = 0同解;,(2) 秩(ATA) = 秩(A).,3.3 非齐次线性
12、方程组,第三章 线性方程组,3.3 非齐次线性方程组,一. 非齐次线性方程组的相容性,定理3.4. 设ARmn, bRm, 则,(3) 当秩(A, b)=秩(A)n时, Ax = b有无穷多解, 且通解中含有n秩(A) 个自由未知量.,(1) Ax = b有解秩(A, b) = 秩(A);,(2) 当秩(A, b)=秩(A)=n时, Ax = b有唯一解;,第三章 线性方程组,3.3 非齐次线性方程组,二. 非齐次线性方程组的解的结构,1. 齐次线性方程组Ax = 0 称为非齐次线性 方程组Ax = b 的导出组.,性质1. 设1, 2都是 Ax = b 的解, 则12是 Ax = 0 的解.
13、,性质2. 是Ax = b的解, 是Ax = 0 的解, 则 +是Ax = b的解.,2.非齐次线性方程组的解向量的性质,第三章 线性方程组,3.3 非齐次线性方程组,定理3.5.,* 是Ax = b的一个解,1, , nr Ax = 0 的基础解系,Ax = b的结构式通解为,x = k11 +knrnr +*.,特解 (particular solution),第三章 线性方程组,3.3 非齐次线性方程组,3. 解非齐次线性方程组Amn x = b的一般步骤,A b,行 阶 梯 形,行 最 简 形,第三章 线性方程组,3.3 非齐次线性方程组,解:,可见原方程组有解, 且,例5. 求方程组
14、,的通解.,第三章 线性方程组,3.3 非齐次线性方程组,由此可得原方程组的结构式通解,可见原方程组有解, 且,九章算术是中国古代 数学专著，是算经十书中 最重要的一种。 该书系统总结了战国、秦、 汉时期的数学成就。 它在数学上还有其独到的 成就，不仅最早提到分数,问题，也首先记录了盈不足等问题。 该书经多次增补, 成书时间已不可考, 但据估算最迟在 公元一世纪已有了现传本。 许多人曾为它作过注释， 其中不乏历史上的数学名人，最著名的有刘徽(公元 263年)、李淳风(公元656年)等人。,共九章: 方田, 粟米, 衰分, 少广, 商功, 均输, 盈不足, 方程, 勾股,Born: 31 Mar
15、ch 1730 in Nemours, France Died: 27 Sept 1783 in Basses-Loges (near Fontainbleau), France,tienne Bzout, ,Born: 31 July 1704 in Geneva, Switzerland Died: 4 Jan 1752 in Bagnols-sur-Ceze, France,Gabriel Cramer,Charles Lutwidge Dodgson,Born: 27 Jan 1832 in Daresbury, England Died: 14 Jan 1898 in Guilford, England,
