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1、第二章 随机变量及其分布,第一节 随机变量及其分布函数 第二节 离散型随机变量及其分布 第三节 连续型随机变量及其分布 第四节 随机变量函数的分布,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念,1. 为什么引入随机变量?,2.1 随机变量及其分布函数,一、随机变量,2. 随机变量的引入,实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.,S=红色、白色,非数量,将 S 数量化,可采用下列方法,红色
2、,白色,即有 X (红色)=1 ,X (白色)=0.,这样便将非数量的 S=红色，白色 数量化了.,实例2：系球队参加学校比赛， 实验E为：记录一场比赛结果。试验E的样本空间=“胜”“平”“负” ，若设各结果对应的分数为=“胜”“平”“负” =2分，1分，0分，令 X: e 12, e 21, e 30， 即X表示“该队参加一场比赛的分数”,I . X是变量,若根据以往的记录，该队参加一场比赛赢球的概率1/2，输及平的概率1/4，于是X的取值有概率规律。P X=2=1/2 , PX=1=PX=0=1/4.,实例3 抛掷骰子,观察出现的点数.,S=1，2，3，4，5，6,样本点本身就是数量,且有
3、,则有,（1）随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.,（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这些实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.,这些X,Y,Z就是所谓的,随,量,机,变,( random variable),这几个例题中引入的变量X,Y,Z都是样本点的实值函数，且具有以下共同特点：,一般地，我们有,3定义：设X()是定义在概率空间(, F, P )上的单值实函数,如果对于每个 ,有一个实数X() 与之对应, 且x(-,+) , |X() xF ,则称X()为随机变量.,简记为 r.v. ，用大写字母X,Y,Z
4、或希腊字母,表示， 表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.,一般地，X()写为X，Xx=|X() x。,.,X(),R,( random variable),随机变量实际上就是定义域为事件域，值域为实数集或其子集的一种实值函数.,.,X(),R,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？它的引进有何意义？,2、引入随机变量的意义,随机事件实际上是包容在随机变量这个更广的概念内. 也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样.,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计
5、规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及 事件概率,随机变量及其 取值规律,例4: 考虑“测试灯泡寿命”这一试验。试验结果本身是用数字描述的，令X表示灯泡的寿命（以小时计），这个变量X是定义在样本空 =t|t0上的函数，具体地说就是 X=X()=t， =t X是随机变量。它的值域为RX=0，+），而且X500表示事件“任取出的灯泡的寿命小于500小时”，事件“任取的灯泡的寿命大于500小时且不超过1000小时”可用X表示为500X1000。,例5: 考察掷两次硬币这一试验，样本空间为=HH，HT，TH，TT，令X表示正面出现的次数，X是一随机变量，且有
6、X1HT，TH，Rx=0，1，2 例6: 从一批产品中任取n件，令X表示取出的n件产品中的次品数，则X为一随机变量，Rx0，1，n 例7: 假设我们关心某地区居民的身高情况，用X (单位cm) 表示随机抽出的一个人的身高，则X是随机变量，事件“随机抽出一个人的身高不超过170cm”可表示为X170。,例8: 某射手向一目标射击，其弹着点的横坐标X是一随机变量，纵坐标Y也是随机变量。 例9:一批产品共100件，其中95件合格，5件不合格。从中有放回地一件一件地取产品，直到取出一件合格品为止时所取出的产品件数X是一随机变量。Rx=1,2,. 例10: 一个月某交通路口的事故数X，是随机变量。 例1
7、1: 用天平称量某物体的重量的误差X，是随机变量。,3、随机变量的分类,通常分为两类：,如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个 一一列举,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.,全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间.,对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a, b)内取值的概率.,分布 函数,例如,1.概念的引入,二、随机变量的分布函数,1、定义：,由定义，对任意实数 x1x2，随机点落 在区间（ x
8、1 , x2 的概率为：,P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1),实际上，分布函数完整地描述了r.v.的统计规律，i.e.，只要知道了随机变量X的分布函数， 就可以计算它取任何值的概率.,例如（1）PaXb=F(b)-F(a).,（5）PXb=1-F(b-0).,（6）PaXb=F(b-0)-F(a).,（2） PXb=1-F(b). (Xb= ),分布函数完整地描述了r.v.的统计规律，只要知道随机变量X的分布函数， 就可以计算它取任何值的概率.,(因为aXb=Xb-Xa,且XbXa),(X=b=Xb-Xb,XbXb,再由（2） ),分布函数是一个普
9、通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量.,例1 将一枚均匀的硬币抛三次，记X为正面向上出现的次数，求X的分布函数。,所以，x 0时, F(x)=P (X x) =0,解：显然，X=0，1，2，3。且,P ( X =0 ) =1/8, P ( X=1 ) =3/8 P ( X = 2 ) =3/8, P ( X=3 ) =1/8,0x 1, F(x)=P(Xx)=P(X=0)=1/8,1x 2，F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)=4/8,2x 3，F(x)=P(Xx)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 7/8,3x ，F(x)=P(Xx)=1
10、,于是,例2在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标. 设质点落在 0, a中任意小区间内的概率与该小区间长度成正比，试求 X 的分布函数,解： 设 F(x) 为 X 的分布函数，,当 x a 时，F(x) =1,当 0 x a 时， P(0 X x) = kx (k为常数 ),F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x),=x / a,这是在区间 0，a上服从均匀分布的随机变量分布函数,注意：两类随机变量的分布函数图形的特点不一样.,2、分布函数的性质,(1) F(x) 非降，即若 x1x2，则F(x1) F(x2) ;,(2) F( ) = F(x
11、) = 0,(3) F(x) 右连续，即,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.,F( ) = F(x) = 1,（1）F(x)为不减函数：当x1 x2时，有F(x1)F(x2)。,(2) 由定义可知：0F(x)1,后两式与性质(3)都可用概率连续性证明。只证(3):即要证x0, F(x0+0)=F(x0),（3）F(x)右连续，即对x:F(x)=F(x+0).,注1. 分布函数性质的证明：,因为F(x)不减，取定一数列xn x0, (例如x0+ 1/n x0)则有：,记：A=Xx0,A
12、n=Xxn,n=1,2, 则：A1 A2 An 且,即：F(x0)=F(x0+0),而x0是任意的。,试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.,例14 设有函数 F(x),解： 注意到函数 F(x)在 上下降， 不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.,不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的 分布函数.,或者,练：设连续性随即变量X的分布函数为,其中，,为参数。,求A,B的值，并计算P(-11/2。,得a=1/6,解:（1）由分布律性质,3、离散型随机变量及其分布举例,（2）,注：已知r.v.X分布律, 可求任意随机事件概率。如求事件XB的概率P XB时，只需将属于B的X的
13、可能取值找出来，把X取这些值的概率相加，即,例2. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的概率函数（即分布律）.,解: X 可能取的值是1,2, ，,P(X=1)=P(A1)=p,为求 P(X =k )， k = 1,2, ,Ak = 第k发命中，k =1, 2, ，,设,于是,即,若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.,不难验证:,（1）已知r.v.X的分布律，可求出X的分布函数：设X的分布律为PX=xk=pk (k=1，2，) 由可列可加性得X的分布函数为,这里的和式是对所有满足xkx的k求和。 分布函数F(x)在x=xk处有跳跃，跃跳值为pk=Px=xk。,
