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1、第六节 矩阵谱分解,主要内容： 一、单纯形矩阵的谱分解 二、正规矩阵与酉对角化 三、正规矩阵的谱分解,左特征向量,给定n阶矩阵A，是A的特征值。由于AT与A有相同的特征值，设Y是AT的属于的特征向量，则,称YT是A的属于的左特征向量， 也称A的属于的特征向量为右特征向量.,两端取转置得：,一、单纯形矩阵的谱分解,设A是 n阶单纯矩阵， 1, 2, , n 是A 的n个不同特征值，x1,x2, ,xn是A的n个线性无关的特征向量，P=(x1,x2, ,xn),则:,这表明AT也与对角矩阵相似，故AT也是单纯矩阵,其中,性质:单纯矩阵不同特征值的左右特征向量是正交的,以矩阵特征值的代数重复度都为1
2、为例加以证明:,设y1,y2, ,yn是AT的n个线性无关的特征向量.则,( y1,y2, ,yn ) = (PT )-1 = (P-1 ) T,从而,即：,对于单纯矩阵A（矩阵特征值的代数重复度都为1），,-矩阵A的谱分解,即单纯矩阵A分解成n个矩阵Ai之和的形式，其系数组合是A的谱（所有相异的特征值）。,由,则,对于 有下面的性质：,（2）,例1 求矩阵A的谱分解,由,得,设A的左特征向量为,则,因为 满足,可解得,从而,单纯矩阵A的谱分解定理,设单纯矩阵 的谱为 ，,则存在唯一的,其代数重数分为,使,2设n阶单纯矩阵特征值的代数重复度不全为1,谱分解定理的证明,设,对于特征值i ， x1
3、i,x2i, ,xmii是A的相应的mi个线性无关的右特征向量， 是A的相应的mi个线性无关的左特征向量,记,从而,再由,可得,则,同时,例2：求单纯矩阵,的谱分解,由矩阵A的特征多项式,得A的特征值,及相应的线性无关的特征向量,为,设 对应的左特征向量为,则由,得,同理得：,则,从而,1、正规矩阵定义：,下列类型的矩阵都是正规矩阵： 实对称矩阵 AT=A; 反实对称矩阵 AT=-A; 正交矩阵 AT=A-1; 酉矩阵 AH=A-1; Hermite矩阵 AH=A; 反Hermite矩阵 AH=-A; 对角矩阵,设,满足,二、正规矩阵与酉对角化,2、酉相似,3、Schur 定理,（1）任意复方
4、阵酉相似于一个上三角矩阵。即,Schur 定理,（2）任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即,引理 正规上三角矩阵是对角矩阵,证明 设n阶矩阵A是正规上三角矩阵，则,比较等式两边，可得,定理 ，则A酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件是A为正规矩阵，即,证明 必要性,充分性,由schur定理知，A酉相似于一个上三角矩阵T，,正规矩阵的性质：,1、正规矩阵有n个线性无关的特征向量；,2、正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的；,3、与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。,解 显然A满足,求得对应的线性无关特征向量,例3 判断A是否为正规矩阵，如果是，将其酉对角化,即A是Hermite矩阵，从而是正规阵,由,得A的特征值,即酉变换矩阵为,则,经过验证它们两两正交。,因此，只需将它们单位化得：,实际上，对于正规矩阵来说，属于不同特征值的特征向量相互正交。,三、正规矩阵的谱分解,设 的谱为 ，,则A为正规矩阵的充要条件是存在唯一的,其代数重数分为,一组正交投影矩阵,使,例5、求正规矩阵,的谱分解,由矩阵A的特征多项式,得A的特征值,相应的线性无关的特征向量为,对于,相应的特征向量为,对于,将x1,x2,x3标准正交化得：,将x4标准化,记,则,练习: P94 15, 16, 18,
