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1、,第三章 复变函数积分,教学目的与要求,了解： 复变函数积分的性质，会求复变函数的积分； 理解：复变函数积分的定义；柯西积分定理。 掌握： 柯西积分公式、高阶导数公式；,教学重点与难点,教学重点： 柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式。 教学难点： 柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式。,课外思考题,2,3,5(2),6(1),7(3)(5),9,10,内容提要,有向曲线,复积分,积分存在的 条件及计算,积分的性质,柯西积分定理,原函数 的定义,复合闭路 定 理,柯西积分 公 式,高阶导数公式,调和函数和 共轭调和函数,一、有向曲线,(1)若曲线C是开口弧段，若规定它的端点A为起点，B
2、为终点，则沿曲线C从A到B的方向为曲线C的正方向(简称正向)，把正向曲线记为C或C+。而由B到A的方向称为的负方向(简称负向)，负向曲线记为C- 。,在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，若一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：,第一节 复变函数积分的概念,(2)若C是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向。,(3)若C是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则C的正方向这样规定：当人沿曲线C行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向。,设函数w=f(z)定义在区域D内，
3、C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为,二、复变函数积分的定义,在每个弧段,上任意取一点,(,(1)若C是封闭曲线，则沿此闭曲线的积分，记为,关于定义的说明:,(2)若C是x轴上的区间axb，而f(z)=u(x)，这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义。,三、积分存在条件及其计算,定理一（积分存在定理）若,在光滑曲线C上连续，则,存在，且,若C不光滑，C1,C2光滑，C1,C2相接为C，即C=C1+C2分段光滑，规定,定理表明, 当f(z)即u(x,y),v(x,y)在光滑曲线C上连续,不但存在，还可通过两个实二元函数的曲线积分来计算。,为便于记
4、忆公式，可把 f(z)dz 理解为 (u+iv)(dx+idy) , 则,复积分 的计算化为两个二元实变函数的曲线积分.,上式说明了两个问题：,(1)当f(z) 是连续函数，且C是光滑曲线时，积分 一定存在；,(2) 可通过两个二元实变函数的线积分来计算。,若光滑曲线C的方程为,t=对应曲线 C 的起点，t=对应曲线 C 的终点。,记,则,因此可用,来计算复变函数。,一个复积分的实质是两个实二型线积分,把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分。当曲线积分的积分路径C由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分。,注意：在今后的积分中，总假定被积函数是连续的， 曲线 C 是按段光滑的。
5、,若C是由,等光滑曲线依次相互,连接所组成的按段光滑曲线，则,由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以 的值不论C是怎样的曲线都等于 ，这说明有些函数的积分值与积分路径无关。,例1 计算 ，其中C为从原点到点3+4i的直线段。,解：直线的方程可写成,在C上，,于是,又因为,例2 计算,解：,(1)积分路径的参数方程为,y=x,于是,(1)从原点到点1+i的直线段,(2)抛物线y=x2上从原点到点1+i的弧段；,，其中C为,(3)从原点沿x轴到点1再到1+i的折线。,(2)积分路径的参数方程为,于是,(3)积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i
6、直线段的参数方程为,于是,于是,例3 求,解：,积分路径的参数方程为,C为以z0为中心，r为半径的,正向圆周，n为整数。,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关。,故,四、复积分的基本性质,(1)常数因子k 可以提到积分号外，即,(2)函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即,(3)若f(z)沿C可积，且C由C1 和 C2连接而成，则,(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即,(5)若在C上， ，且C的长度为L，则,这里ds 表示弧长的微分。,其中C-为C的负向曲线。,估值不等式,例4 证明：,证明：,小 结,主要学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质。应注意复变函数的积分有跟
7、微积分学中的线积分完全相似的性质。 重点掌握复积分的一般方法。,积分存在的条件及计算,(1)化成线积分,(2)用参数方程将积分化成定积分,则,设简单光滑曲线C的参数方程是,设,沿逐段光滑的曲线C,连续，则积分,存在，且,思考题,复函数f(z)的积分定义式,与一元,函数定积分是否一致？,思考题答案,即为一元实函数的定积分。,若f(x)是实值的，,若C是实轴上区间,，则,一般不能把起点为，终点为的函数f(z)的积分记作,，因为这是一个线积分，要受积分路线的限制，,必须记作,。,第二节 柯西积分定理,通过前面的例题发现，例1中的被积函数f(z)=z在复平面内是处处解析的，它沿连接起点及终点的任何的积
8、分值都相同，换句话说，积分与路径无关。例2中的被积函数f(z)=Rez是不解析的，积分与路径有关。 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性。 函数f(z)在什么条件下，积分仅与起点和终点有关，而与路径无关呢？,若函数f(z)在单连通域B内处处解析，那么函数f(z)沿B的任何一条封闭曲线C的积分为零，即,一、基本定理,柯西古萨基本定理,定理中的 C 可以不是简单曲线。如下图所示。,此定理也称为柯西积分定理。,柯西介绍,古萨介绍,柯西资料,柯西（Cauchy，1789-1857），出生于巴黎。 他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认
9、为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院“会刊”创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能有四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其它地方。 柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分赏识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学
10、数学。,Goursat,Born: 21 May 1858 in Lanzac, Lot, France Died: 25 Nov 1936 in Paris, France,古萨资料,关于定理的说明：,(1)若曲线 C 是区域 B 的边界，函数f(z)在B内与C,(2)若曲线 C 是区域 B 的边界, 函数f(z)在B内解析，,上解析，即在闭区域,在闭区域,上连续，那么定理仍成立。,上解析，则,例1 计算积分,解：,根据柯西古萨定理，有,函数,在,内解析，,思考题,应用柯西古萨定理应注意什么?,思考题答案,(1)注意定理的条件“单连通域”。,(2)注意定理的不能反过来用。,反例：,圆环域,内
11、解析，单位圆,是该区域内一条闭曲线，但,即不能由,而说f(z)在C内处处解析。,反例：,在单位圆,内处处不解析，但,定理一 若函数f(z)在单连通域B内处处解析，那么,由定理知：解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下页图),1.两个主要定理：,二、原函数与不定积分,积分,与连结起点及终点的路线C无关。,若起点为z0，终点为z1，,若固定z0，让z1在B内变动，并令z1=z，便可确定,B内的一个单值函数,定理二 若函数f(z)在单连通域B内处处解析,此定理与微积分学中的可变上限积分的求导定理完全类似。,那么函数,必为B内的一个解,析函数，并且,2.原函数的定义：,原函数之间的关系
12、：,f(z)的任何两个原函数相差一个常数。,显然,是f(z)的一个原函数。,根据以上讨论可知：,证明：,设G(z)和H(z)是f(z)的任何两个原函数，,那么,于是,(C为任意常数),若f(z)在区域B内有一个原函数F(z)，那么它就有无穷多个原函数，一般表达式为F(z)+C(C为任意常数),若函数f(z)在单连通域B内处处解析，G(z)为f(z)的一个原函数，那么,称f(z)的原函数一般表达式F(z)+C（C为任意常数）为f(z)的不定积分，记作,3.不定积分的定义,定理三,(类似于牛顿-莱布尼兹公式),说明：有了以上定理，复变函数的积分就可用跟微积分学中类似的方法去计算。,这里z0,z1为
13、单连通域B内的两点。,证明：,根据柯西-古萨基本定理,证毕,例2 求,解：,由牛顿-莱布尼兹公式知，,因为z是解析函数，它的原函数是,的值。,例3 求,解：,(使用了微积分学中的“凑微分”法),的值。,例4 求,解：方法一,由牛顿-莱布尼兹公式知，,因为zcosz是解析函数，,它的一个原函数是 zsinz+cosz，,的值。,方法二,此方法使用了微积分中“分部积分法”,课堂练习,答案,小 结,介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿莱布尼兹公式。 在学习中应注意与高等数学中相关内容相结合, 更好的理解本课内容。,思考题,解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有何
14、异同?,思考题答案,两者的提法和结果是类似的。,两者对函数的要求差异很大。,但在复积分中要求f(z)为单连域中的解析函数，且积分路线是曲线C，因而z0,z都是复数； 在实积分中要求f(x)为区域a,b上的连续实函数，a,x都是实数。,1、问题的提出,根据第一节例3可知,由此希望将基本定理推广到多连域中。,三、基本定理的推广,实例，计算,因为|z|=2是包含z=1在内的闭曲线，,解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。,闭路变形原理,说明：在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点。,2、复合闭路定理,1)闭路变形原理,2)复合闭路定理,例5 计算积分,解：,依题意
15、知,C包含这两个奇点。,所以f(z)在C所围区域内有奇点z=0及z=1。,因为,，C为包含圆周,在内的任何正向简单闭曲线。,在C内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1和C2，C1只包含奇点z=0，C2只包含奇点z=1,根据复合闭路定理,例6 计算积分,解：,圆环域的边界构成一条复合闭路。,根据闭路复合定理，得,C1和C2围成一个圆环域，,函数,在此圆环域和其边界上处处解析，,C为正向圆周|z|=2和负向圆周,|z|=1所组成。,小 结,讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理，掌握并能灵活应用它是本章的难点。,常用结论:,思考题,复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要注意什么问题
16、?,思考题答案,利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法。,使用复合闭路定理时, 要注意曲线的方向。,一、问题的提出,根据闭路变形原理知，该积分值不随闭曲线 C 的变化,而改变, 求这个值。,第三节 柯西积分公式,C为B内围绕z0的闭曲线。,所以,一般不为零，,若f(z)在B内解析，那么,在z0不解析。,设B为一单连通域，z0为B中一点。,积分曲线C取作以z0为中心，半径为很小的的,正向圆周,由f(z)的连续性，,在C上函数f(z)的值将随着的缩小而逐渐接近于它的圆心z0处的值，,二、柯西积分公式,定理 设函数f(z)在以简单正向闭曲线C所围成的区域B内解析，在C上连续，则对B内任意一点z0，有,
