答案--圆的解题方法归纳

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1、O C B A 圆的解题方法归纳 1 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 1、AB 是的直径，CD 是的一条弦，且 CEAB 于 E，连结 AC，BC。若 BE=2，CD=8， 求 AB 和 AC 的长。 解：AB 是O 的直径，CDAB CE=ED=4 设O 的半径为 r，OE=OB-BE=r-2 在 RtOEC 中， r=5 AB=10 又 CD=8， CE=DE=4， AE=8 AC=

2、 2、圆 O 的直径 AB 和弦 CD 交于 E，已知 AE=6cm，EB=2cm，CEA=30 求 CD。 答案 2 遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 1、如图，AB 是O 的直径，AB=4，弦 BC=2, B= 2、如图，AB 为O 的直径，点 C，D 在O 上，BAC=50，则ADC= A C F O E B D O C B A 3 遇到 90的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 1、如图，AB、AC 是O 的的两条弦，BAC=90， AB=6，AC=8，O 的半径是 2、如图

3、，已知在等腰ABC 中，A=B=30，过点 C 作 CDAC 交 AB 于点 D；求证：BC 是过 A，D，C 三点的圆 的切线 解：（1）作出圆心 O， 以点 O 为圆心，OA 长为半径作圆 （2）证明：CDAC，ACD=90 AD 是O 的直径 连结 OC，A=B=30， ACB=120， 又OA=OC， ACO=A =30 BCO=ACB-ACO =120-30=90 BCOC，BC 是O 的切线. 4 遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：可得等腰三角形； 据圆周角的性质可得相等的圆周角。 1、如图，弦 AB 的长等于O 的半径

4、，点 C 在弧 AMB 上，则C 的度数是_. 2、如图，ABC 是O 的内接三角形，AD 是O 的直径，若ABC=50， 求 CAD 的度数。 解：连接 CD，ADC=ABC=50 AD 是O 的直径， ACD=90 CAD+ADC=90 CAD=90-ADC=90-50= 40 5 遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形。 1、如图，AB 是O 的直径，弦 AC 与 AB 成 30角，CP 与O 切于 C， 交 AB 的延长线于 D， （1）求证：AC=CP （2）若 CP=6，求图中阴影部分的面积（结果精确到 0.1）

5、。 （参考数据：，=3.14） 解：（1）连结 OC AO=OC ACO=A=30 COP=2ACO=60 PC 切O 于点 C OCPC P=30 A=P AC=PC。 （2）在 RtOCP 中，tanP= OC=2 SOCP=CPOC=62=6 且 S扇形 COB= S阴影= SOCP-S扇形 COB=。 （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 2、(1)如图 OA、OB 是O 的两条半径，且 OAOB，点 C 是 OB 延长线上任意一点： 过点 C 作 CD 切O 于点 D，连结 AD 交 DC 于点 E求证：CD=CE (2)若将图中的半径 OB 所

6、在直线向上平行移动交 OA 于 F，交O 于 B，其他条件不变， 那么上述结论 CD=CE 还成立吗?为什么? (3)若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动到O 外的 CF，点 E 是 DA 的延长线与 CF 的交点， 其他条件不变，那么上述结论 CD=CE 还成立吗?为什么 解题思路：本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力 解答：(1)证明：连结 OD 则 ODCD，CDE+ODA=90 在 RtAOE 中，AEO+A=90 在O 中，OA=ODA=ODA， CDE=AEO 来源:Z|xx|k.Com 又AEO=CED，CDE=CED CD=CE (2)CE=C

7、D 仍然成立 原来的半径 OB 所在直线向上平行移动CFAO 于 F， 在 RtAFE 中，A+AEF=90 连结 OD，有ODA+CDE=90，且 OA=OD A=ODA AEF=CDE 又AEF=CED CED=CDECD=CE (3)CE=CD 仍然成立 原来的半径 OB 所在直线向上平行移动AOCF 延长 OA 交 CF 于 G，在 RtAEG 中，AEG+GAE=90 连结 OD，有CDA+ODA=90，且 OA=ODADO=OAD=GAE CDE=CED CD=CE 考查目标二、考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内主要是指点与圆的位置

8、关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内 容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。 6 遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 1、如图所示，已知 AB 是O 的直径，ACL 于 C，BDL 于 D，且 AC+BD=AB。 求证：直线 L 与O 相切。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） ，再证其与直线垂直。 2、如图，四边形ABCD内接于O，BD是O 的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE

9、（1）求证：AE是O 的切线； （2）若301cmDBCDE ， ，求BD的长 解题思路：运用切线的判定 （1）证明：连接OA，DA平分BDE，BDAEDA OAODODAOAD ，OADEDA OACE AEDE，9090AEDOAEDEA ， AEOAAE是O 的切线 （2）BD是直径，90BCDBAD 3060DBCBDC ，120BDE DA平分BDE，60BDAEDA 30ABDEAD 在RtAED中，90302AEDEADADDE ， 在RtABD中，903024BADABDBDADDE ， DE的长是 1cm，BD的长是 4cm D E C B O D E C B O A 2、P

10、A、PB 分别与O 相切于点 A、B，点 M 在 PB 上，且 OMAP，MNAP，垂足为 N （1）求证： OM=AN（2）若O 的半径 R=3，PA=9，求 OM 的长 答案【1】链接 OA、OB AP 是切线，OA 是半径 OAAP MNAP OA/MN 四边形 OANM 是平行四边形 OM=AN 【2】 设 AN=X 所以 NP=AP-AN=9-x OM=x MNP 是直角 有勾股定理得出 MP=x-18x+90 证OBM 与MNP 相似（这个很简单 懒得打字了 自己证明） OB/MN=OM/MP （3/3）=x/（x-18x+90） x=5 OM=5 7 遇到两相交切线时（切线长）

11、常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 作用：据切线长及其它性质，可得到：角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。 【例 9】如图，P 是O 外一点，PA、PB 分别和O 切于 A、B，C 是弧 AB 上 任意一点，过 C 作O 的切线分别交 PA、PB 于 D、E，若PDE 的周 长为 12，则 PA 长为_ 答案 PA，PB 分别和O 切于 A，B 两点， PA=PB， DE 是O 的切线， DA=DC，EB=EC， PDE 的周长为 12， 即 PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=12， PA=6 A B C D

12、E P O 8 遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。 1 1、ABC 的内切圆圆 O 与 AC、AB、BC 分别相切于点 D、E、F，且 AB=5cm， BC=9cm，AC=6cm，求 AE、BF 和 CD 的长。 答案解：设 AE 为 X 因为圆 O 是三角形 ABC 的内切圆 所以 AD=AE BE=BF CF=CD 那么 AD=AE=X BE=AB-AE=5-X CD=AC-AD=6-X BF=BE=5-X CF=CD=6-X BC=CF+

13、BF=6-X+5-X=9 解得 X=1 那么 AE=1 BF=4 CD=5 2、如图，RtABC 中，C=90，AC=6,BC=8,则ABC 的内切圆半径 r=_. 设ABC 的内接圆圆心为点 O。过点 O 作 OE 垂直 AC 于 E，作 OF 垂直 BC 于 F，作 OG 垂直 AB 于 G。连结 AO，BO，CO。 设内接圆的半径为 X。易知四边形 OECF 为正方形。因此 EC 为 X。AE 为 6- X。 同理可得 BF 为 8-X。 易得AEO 与AGO 全等。因此 AGAE6-X。BFO 与BGO 全等。因此 BGBF8-X。 根据勾股定理，得 AB10。即 AG BG10。因此

14、 6-X 8-X10。解得 X2。 即内接圆的半径为 2。 九 遇到三角形的外接圆时 1、直角三角形，如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 已知：在ABC 中，AB13，BC12，AC5，求ABC 的外接圆的半径. 解：AB13，BC12，AC5， AB2BC2AC2， C90， AB 为ABC 的外接圆的直径， ABC 的外接圆的半径为 6.5. AB C O 2、如图，已知，在ABC 中，AB10，A70，B50，求ABC 外接圆O 的半径. 分析：可转化为的情形解题. 解：作直径 AD，连结 BD. 则DC180CABBAC60，DBA90 AD Dsin AB 60sin 10 3 3 20 ABC 外接圆O 的半径为. 3 3 10 十 遇到三角形的外接圆和内切圆时 1、如图，RtABC 中，AC=8，BC=6，C=90，I 分别切 AC，BC，AB 于 D，E，F， 求 RtABC 的内心 I 与外心 O 之间的距离 1、（提示：连 ID，IE，IF，IB，证四边形 CEID 为正方形，求出5 ID=CE=2，证 BF=BE=4，OF=1，再在 RtIFO 中求 IO） 在 RtABC 中，C=90，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径