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1、,掌握圆周角定义，会判断某角是否是圆周角；掌握圆周角定理及其推论，并利用其解决问题.,掌握圆内接四边形的性质及其应用.,连接半径，构造同弧所对的圆心角，利用同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半解决问题.,圆周角定理及其推论的应用 【例1】(2010金华中考)如图，AB是O的 直径，C是 的中点，CEAB于 E，BD交CE 于点F (1)求证：CF=BF； (2)若CD =6， AC=8，则O的半径为_，CE的长是_,【思路点拨】由直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，等弧所对的圆周角相等证明角的相等进而得到线段的相等.求半径及面积时应用勾股定理及等积法.,【自主解答】(1) AB是O的直径，
2、ACB=90 又CEAB，CEB=90，BCE=90-CBE=A 又C是弧BD的中点，CBF=A，BCE=CBF, CF=BF. (2)由(1)知：BC=CD=6，AB= =10，O的半径 为5， ACBC=ABCE,CE= ,CE的长是 .,1.在圆中的证明或计算需要使用角的相等时，一般的方法是构造同弧或等弧所对的圆周角相等，应用的关键是灵活地对角进行转换. 2.在圆中，若有直径时，构造“直径所对的圆周角是直角”是常用的添加辅助线的方法；条件中有90的圆周角时，一般用该圆周角所对的弦表示直径. 3.在解题时注意勾股定理、垂径定理的应用.,1.(2010南昌中考)如图，O 中，AB、AC是弦，
3、O在BAC的内部，ABO=，ACO=，BOC=，则下列关系中，正确的是 ( ) (A)=+ (B)=2+2 (C)+=180 (D)+=360 【解析】选B.连接AO，则BAO=ABO=，CAO=ACO=，所以BOC=2BAC，即=2+2.,2.(2010淮安中考)如图，已知点A，B， C在O上，ACOB，BOC=40， 则ABO=_ 【解析】由同弧上的圆周角等于该弧上圆心角的一半， 所以BAC= BOC= 40=20，又ACOB， 所以ABO=20. 答案：20,3.(2010赤峰中考)如图，AB是O的一条弦， ODAB，垂足为C，交O于一点D，点E在O上， AED=25，则OBA的度数是_
4、 【解析】ODAB， ，BOD=2AED=50， OBA =90-50=40. 答案：40,解题的关键是把握同弧或等弧所对的圆周角、圆心角之间的倍数关系；有直径时，利用直径所对的圆周角是直角并构造直径所对的圆周角；垂径定理构造了等弧，为角的相等提供了更多的转换途径，解题时要灵活转化.,圆内接四边形 【例2】如图所示，已知圆心角AOB=100,求ACD的度数.,【思路点拨】,【自主解答】如图,在优弧 上任取点E,连接AE,BE, 则E= AOB=50, ACB=130, ACD=180-ACB=50.,圆内接四边形对角互补，结合邻补角还可以得到“圆内接四边形的外角等于与它不相邻的内对角”.计算弧
5、所“含”的圆周角的度数，往往构造弧所对的圆周角，利用圆内接四边形的性质结合同弧所对的圆周角、圆心角之间的关系来解决.,4.圆内接四边形相邻三个内角度数的比为217，则其最大内角的度数为_. 【解析】根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相 等，所以四个内角的度数的比为2178，又因为四边形 的内角和为360，所以最大内角的度数为 360 =160. 答案：160,5.(2010威海中考)如图，AB为O的 直径，点C，D在O上若AOD30， 则BCD的度数是_ 【解析】连接BD，AB为O的直径，ADB=90， AOD30，ABD=15， DAB=9015=75，BCD=18075=105. 答
6、案：105,涉及到圆内接四边形的度数比的问题，一般是根据圆内接四边形的性质，求出所有内角的比值，应用比例性质或结合方程的思想来解决.解题时注意圆周角定理及其推论的灵活应用.,1.(2010清远中考)下列各图中，1=2的是( )【解析】选D.同弧所对的圆周角相等.,2.圆内接平行四边形一定是( ) (A)矩形 (B) 正方形 (C) 菱形 (D)梯形 【解析】选A.由圆内接四边形的对角互补及平行四边形对角相等得，四边形的四个角都是直角，故选A.,3.如图,AB是O的直径，C、D、E都是O上 的点，则C+D=_. 【解析】连接AE、BE，则C=EBA， D=EAB，又AB是O的直径， AEB=90
7、，C+D=90. 答案：90,4.(2010娄底中考)如图，在半径为R的O 中，弦AB的长与半径R相等，C是优弧 上一 点，则ACB的度数是_. 【解析】连接OA、OB，弦AB的长与半径R相等，OAB为等边三角形， AOB=60，ACB=30. 答案：30,一、选择题（每小题4分，共12分） 1.（2010 贵阳中考）如图，AB是O的 直径，C是O上的一点，若AC=8，AB=10， ODBC于点D，则BD的长为（ ） （A）1.5 （B）3 （C）5 （D）6,【解析】选B.AB是O的直径，C=90，在RtABC 中，BC= ， 又ODBCBD= BC=3.,2.如图，已知EF是O的直径，把A
8、为 60的直角三角板ABC的一条直角边BC 放在直线EF上，斜边AB与O交于点P， 点B与点O重合；将三角板ABC沿OE方向平移，直到点B与点E重合为止，设POF=x，则x的取值范围是（ ） (A)30x60 (B)30x90 (C)30x120 (D)60x120,【解析】选A.由题意知，三角板从O向E移动时，POF逐渐增大，当点B在圆心的位置时，POF=30，当点B与E重合时，由圆心角、圆周角之间的关系可得POF=60，故选A.,3.已知点A、B、C在半径为2 cm的O上，若BC=2 cm,则 A的度数为（ ） （A）60 （B）120 （C）60或120 （D）30,【解析】选C.当点A
9、在弦BC所对的优弧上时，如图1，连接BO并延长交O于D，连接CD,OC,则BD=4 cm. BD是O的直径，BCD=90. 在RtBCD中，又OD=OC=2cm,OCD为等边三角形. D=60. 根据同弧所对的圆周角相等可得A60.,当点A在弦BC所对的劣弧上时，如图2， 由前面的方法，可得D=60, A=120. A的度数是60或120.,二、填空题（每小题4分，共12分） 4.（2010 成都中考）如图，在ABC中， AB为O的直径，B=60，C=70，则 BOD的度数是_度 【解析】A=1806070=50， 所以BOD=2A=100. 答案：100,5.（2010南宁中考）如图，AB为
10、半圆O的直径，OCAB,OD平分BOC，交半圆于点D,AD交OC于点E，则AEO的度数是_. 【解析】OCAB,OD平分BOC， BOD=45，EAO=22.5， AEO=67.5. 答案：67.5,6.如图，点C、D在以AB为直径的O上，且CD平分ACB，若AB=2，CBA=15，则CD的长为_,【解析】如图，连接BD、AD、OD，过O点作OECD， AB为O的直径，且CD平分ACB， ABD为等腰直角三角形， OD= AB=1, ODA=45，CDA=CBA=15， ODE=4515=30， OE= ,DE= ,CD=2DE= . 答案：,【归纳整合】构造直径所对的圆周角是解决与圆相关的问
11、题时常用的辅助线，为勾股定理、垂径定理等知识的应用创造了条件；利用圆周角的性质解题，一般有两种转化方式：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化；二是角的相等转化为线段（弦）的相等.,三、解答题（共26分） 7.(8分)如图所示,O的直径AC=2,BAD=75,ACD=45,则四边形ABCD的周长和面积各为多少?(结果取准确值),【解析】四边形ABCD为圆内接四边形, BCD=180-BAD=180-75=105, BCA=105-45=60. 又AC为O的直径,B=D=90, BAC=30,CAD=45. 在RtABC中,BC= AC=1,AB= 在RtACD中,CD=AD= AC
12、= , 四边形ABCD的周长为: 面积为:,8.（8分）如图，在ABC中，ACB=90，D是AB的中点，以DC为直径的O交ABC的边于G，F，E点 求证：（1）F是BC的中点；（2）A=GEF,【证明】（1）连接DF， ACB=90，D是AB的中点, BD=DC= AB, DC是O的直径，DFBC, BF=FC，即F是BC的中点 （2）D，F分别是AB，BC的中点， DFAC,A=BDF， BDF=GEF，A=GEF.,【拓展延伸】 9.（10分）如图1所示,已知AB是O的一条弦,点C为 的中 点,CD是O的直径,过C点的直线l交AB所在直线于点E,交O 于点F, （1）判定图中CEB与FDC
13、的数量关系,并写出结论. （2）将直线l绕C点旋转(l与CD不重合),在旋转过程中,E点、 F点的位置也随之变化,请你在下面两个备用图中分别画出l 在不同位置时,使(1)的结论仍然成立的图形,标上相应的字 母,选其中一个图形给予证明.,【解析】(1)CEB=FDC.理由:C为 的中点,CDAB, CEB+ECD=90,又CD是O的直径, FDC+ECD=90,CEB=FDC. (2)可以画出直线l经过A点及其他情形时的图形,见图2、图3、图4.,对于图2、图3、图4的证明可仿(1)进行,对于图4的证明如下： 点C是 的中点, CDAB,CEB+ECD=90, 又CD是O的直径,CFD=90, FDC+ECD=90,CEB=FDC.,Thank you!,
