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1、,概率论与数理统计 第十三讲,主讲教师：杨勇,佛山科学技术学院数学系,4.3 协方差与相关系数,对于二维随机向量(X,Y)， 除了其分量X和Y 的期望与方差之外, 还有一些数字特征, 用以刻画X与Y之间的相关程度，其中最主要的就是下面要讨论的协方差和相关系数。,定义1：若 E X-E(X)Y-E(Y) 存在，则称其为X 与Y 的协方差，记为Cov(X,Y), 即,4.3.1 协方差,Cov(X, Y) = E X-E(X)Y-E(Y) . (1),(3). Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) ；,(1). Cov(X, Y) = Cov(Y, X)；,
2、协方差性质,(2). 设 a, b, c, d 是常数，则Cov( aX+b, cY+d ) = ac Cov(X, Y) ；,(4). Cov(X, Y) =E(XY)-E(X)E(Y) ，,(5). Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X, Y) .,当 X 和 Y 相互独立时，Cov(X, Y)=0；,若 X1, X2, , Xn 两两独立，则,性质(5)可推广到 n 个随机变量的情形：,协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y相互间的关系，但它还受X 和Y 本身度量单位的影响。协方差Cov(X,Y)的单位是X和Y的单位的乘积。例如：,Cov(aX, bY) = ab
3、Cov(X, Y).,为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 。,4.3.2 相关系数,为随机变量X 和Y 的相关系数 。,定义2: 设Var(X) 0, Var(Y) 0, 则称,在不致引起混淆时，记 为 。,相关系数性质,证：由方差与协方差关系，,对任意实数b, 有,0Var(Y-bX)=b2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y ),Var(Y-bX) =,由方差Var(Y)0, 知 1- 2 0, 所以 | |1。,由于当 X 和 Y 独立时，Cov(X, Y)= 0 .,请看下例：,(2). X 和Y 独立时, =0（称X 和Y不相关），但其逆不真；,但=
4、0 并不一定能推出 X 和 Y 独立。,所以，,证明:,例 1：设 (X,Y) 服从单位 D= (x, y): x2+y21 上的均匀分布，证明： XY = 0。,所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 .,同样，得 E(Y)=0,此外，Var(X) 0, Var(Y) 0 .,所以，XY = 0，即 X 与 Y 不相关。,但是，在例3.6.2已计算过: X与Y不独立。,存在常数a, b(a0)，,使 P Y = aX+b = 1 ，即 X 和 Y 以概率 1 线性相关。,(3). |=1，（称X和Y完全相关）,但对下述情形，独立与不相关是一回事：,前面, 我们已经
5、看到：,若X 与Y 独立，则X 与Y 不相关；但由X与Y 不相关，不一定能推出X与Y独立。,若(X, Y )服从二维正态分布，则X 与Y 独立的充分必要条件是X与Y不相关。,习题：,定义1：设X是随机变量, 若E(Xk) 存在(k =1, 2, ), 则称其为X 的 k 阶原点矩；若 EX-E(X)k 存在(k = 1,2, ), 则称其为X的 k 阶中心矩。,4.4 矩与协方差矩阵,4.4.1 矩,易知：X 的期望 E(X) 是 X 的一阶原点 矩，方差Var(X) 是 X 的二阶中心矩。,定义2：设X和Y是随机变量, 若 E(XkYm) 存在(k, m=1, 2,), 则称其为X与Y的 k
6、+m 阶混合原点矩；若 EX-E(X)k Y-E(Y)m存在(k, m=1,2,，则称其为X与Y的 k+m 阶混合中心矩。,易知： 协方差 Cov(X,Y) 是 X与Y的二阶混合中心矩。,4.4.2 协方差矩阵,将随机向量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩,排成一个22矩阵 ，,则称此矩阵为(X1, X2)的方差与协方差矩阵，简称协方差阵。,类似地，我们也可定义n 维随机向量 (X1, X2, , Xn) 的协方差阵：若随机向量的所有的二阶中心矩,为(X1, X2, , Xn) 的协方差阵。,存在，,则称矩阵,f (x1, x2, , xn),则称X服从n元正态分布。,其中C是 (X1, X
7、2, , Xn) 的协方差阵，,|C|是C的行列式， 表示C的逆矩阵，,X和 是n维列向量， 表示X的转置。,设 =(X1,X2, ,Xn)是一个n维随机向量, 若其概率密度,n元正态分布的几条重要性质：,(1). X =(X1, X2, , Xn) 服从 n 元正态分布,对一切不全为 0 的实数 a1, a2, , an， a1X1+ a2 X2+ + an Xn 服从正态分布。,(2). 若 X=(X1,X2, ,Xn)服从n 元正态分布，,Y1,Y2,Yk 是 Xj (j=1, 2, n)的线性组合,则(Y1,Y2, , Yk)服从k 元正态分布。,这一性质称为正态变量的线性变换不变性。
8、,(3). 设(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布，则,“X1,X2, ,Xn两两不相关”。,“X1, X2, , Xn 相互独立” 等价于,例2: 设随机变量X和Y相互独立，且XN(1, 2), YN(0, 1)。求 Z = 2X-Y+3 的概率密度。,知 Z=2X-Y+3 服从正态分布，且,解: 由XN(1,2), YN(0,1)，且X与Y相互独立,Var(Z) = 4Var(X)+Var(Y) = 8+1 = 9,E(Z) = 2E(X)-E(Y)+3 = 2-0+3=5 ，,故，ZN(5, 32) .,Z 的概率密度为,习题：,小结,本讲首先介绍二维随机向量 (X,Y) 的分量X与Y 的协方差及相关系数的概念、性质和计算；然后介绍随机变量的各种矩(k 阶原点矩、 k 阶中心矩、k+m 阶混合原点矩、k+m 阶混合中心矩)，n 维随机向量的协方差阵的概念、性质和计算；最后简单介绍了n 元正态分布的概念和三条重要性质。,
