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1、第二章 随机变量及其概率分布,1 随机变量及其分布函数,随机变量定义 定义 设 是某一随机试验的样本空间， 若对 中每个样本点 都有唯一的实 数 与之对应，则称此定义在 上 的单值实值函数 为随机变量。 （random variable 简记为 r.v. ）,某些随机试验的结果可以对应于实数 值。如： 1）连续抛一枚匀质硬币3次，观察币值一面向上的次数。若币值一面向上，用“1”表示，图案一 面向上，用“0”表示，则随机试验所有可 能的结果是 （0，0，0）（1，0，0）（0，1，0） （0，0，1）（1，1，0）（1，0，1） （0，1，1）（1，1，1）,用X表示币值一面向上的次数 样本点
2、对应的实数 （0，0，0） 0 （1，0，0）（0，1，0） （0，0，1） 1 （1，1，0）（1，0，1） （0，1，1） 2 （1，1，1） 3X 可能的取值是 0，1，2，3,2）测试灯泡的使用寿命。试验的样本空 间= t t 若用Y表示测试对象的使用寿命， 则 有Y = t ，0 t +， 即 中每个样本点本身就是一个实数。,有的随机试验的结果不是数值，如： 从一批产品中随机地抽取一件，观察取 到的是合格品或是次品。可以为试验结果赋值，若用Z 表示抽验 结果。则有抽验到次品， 令 Z=0；抽验到合格品， 令 Z =1。,综上，随机试验的样本空间中的每一 个样本点都可以与某一个实数对应
3、，这 样的实数即是随机变量。试验前不能确定随机变量取哪一值， 但是，可以知道随机变量所有可能的取 值及以多大的概率取某一个值。,随机变量的表示：大写字母 X、Y、Z、希腊字母 随机变量的取值表示为小写字母 x、y、z、 随机变量的特征： （1）随机变量的取值具有随机性； （2）随机变量的取值具有统计规律性。,随机变量的类型离散型：随机变量的取值是有限个或可列个（即取值可以一一列举）连续型：随机变量的取值充满某一个区间,2随机变量的分布函数定义 设 是随机变量， 是任意实数，则称为随机变量 的分布函数，记 作 ，即= 。,对于任意的实数 ，随机变 量 落在区间 里的概率可以用 分布函数值表示：,
4、分布函数的性质： （1） 是其自变量的单调不减函 数，即当 时有 ； （2） ，且； （3） ， 即 是右连续的函数。,例1 已知随机变量 的取值是0，1，2，3，且知（1）写出 的分布函数 ； （2）求 。,解（1） 的取值是 0，1，2，3，且 = 实数 10且 p 0.1时，即有,例2 某保险公司承接一项意外伤害险业务。投保人数为2500，期限一年，各投保人在保期内是否发生意外伤害具有独立性。约定每人缴保费100元，若发生意外伤害保险公司将赔付每位受害者20000元，保险公司在此项业务上的成本是10000元。,（1）若投保人发生意外伤害的概率是0.002，求保险公司在此项业务上至少 获利
5、100000元的概率； （2）若投保人发生意外伤害的概率为0.004，求保险公司在此项业务上亏本 的概率。,解 设投保人中发生意外伤害的人数是随机变量 ，由题设，（1）p =0.002 事件保险公司至少获利100000元= 1002500-10000-20000 100000 = 7 ， =25000.002=5,查泊松分布表得到各项数值， P 7 0.876628,（2）p=0.004 ， =25000.004=10事件保险公司亏本=1002500-1000012,（2）泊松分布若随机变量 的可能取值是0,1,2, 且则称随机变量 服从参数为 的泊松 分布，分布律为,容易验证：,例3 设某商
6、店一小时内接待的顾客数，求（1）P =6； （2）P 3。 解 （1）（2）,4）几何分布若随机变量 的可能取值是1,2,3, 且， 则称随机变量 服从参数为 p的几何分 布，分布律是,容易验证：,例4 相同条件下向某一目标射击，若每 次射击的命中率p=0.3，且约定击中目标 即停止，否则继续。用 表示击中目标 时射击的次数，求（1） 的分布律； （2）P 3。,解 由题设，击中目标时射击的次数服从参数为0.3的几何分布。 （1） 的分布律是（2）,复习与预习,1. 连续地抛一枚匀质骰子。 1）共抛了20次，设 是20次中出现点 数6的次数，问 服从什么分布？写出 的分布律； 2）约定出现点数
7、6即停止，否则继续。 设 是出现点数6时抛掷的次数，问 服从什么分布？写出 的分布律。 思考：区别在哪里？,连续型随机变量是怎样定义的？随机变量的分布密度函数具有哪些性 质？,3 连续型随机变量及其概率分布,1.连续型随机变量及其分布密度函数 定义 设 是随机变量 的分布函 数，若存在非负函数 ，对任意实 数 ，有则称 为连续型随机变量，称 为 的概率分布密度函数或密度函数， 也称为分布密度。,分布密度函数的性质,（1）（2）（3）在 的连续点处，有,若 是连续型随机变量， 是常数， 则有 。,由此得到,例1 设随机变量 的分布函数是求（1） ；（2） 的分布 密度函数 。,解 （1）（2）当
8、1x 0是常数，则称 服从参数为的指数分布，记作 E（ ）。Exponential Distribution,的分布函数是,例4 设在时间t （分）内通过某路口的汽车数N(t)服从参数为 的泊松分布， 0是常数。 （1）若已知在1分钟内没有汽车通过的 概率是0.2，求2分钟内有多于1辆汽车通 过的概率； （2）求相继两辆车通过的时间间隔T的 概率分布。,解 由题设，（1）,（2）相继两辆车通过路口的时间间隔T 是随机变量，有 T 的分布函数是,T 的分布密度函数是,复习与预习,若已知随机变量 服从正态分布，问事件 的概率能否直接通过积分得到？为什么？ 若已知随机变量 ，怎样构造一个服从标准正态分布的随机变量？,3）正态分布,若随机变量 的分布密度函数是则称 服从参数为 ， 的正态分布， 记作Normal Distribution,
