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1、概率论与数理统计 （54学时）,开课系：信管系 教师：张艳娥 Email:,概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，是重要的一个数学分支。,在生活当中，经常会接触到一些现象： 确定性现象：,在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。,随机现象：,在一定条件下必然发生的现象。,在个别实验中其结果呈现出不确定性；,概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。,课程简介,概率论与数理统计 已成为高等理、工科院校教学计划中一门重要的公共基础课。通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法，并且具备一定的分析问题和解决实际问题的能力。,退 出,
2、目 录,前一页,后一页,课程简介,课程主要内容：,概率论的基本概念 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律及中心极限定理 样本及抽样分布 参数估计 假设检验,1 随机试验 2 样本空间，随机事件 3 频率与概率 4 等可能概型（古典概率） 5 条件概率 6 独立性,第一章 概率论的基本概念,退 出,目 录,前一页,后一页,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。,第一章 概率论的基本概念,1 、 随 机 试 验（Experiment ）,1 随机试验,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,E1：抛一
3、枚硬币两次，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。,E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。,E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。,E4：观察某一电子元件（如灯泡的寿命。,其典型的例子有,E5：观察某城市居民（以户为单位烟酒年支出。,这些试验具有以下特点：,第一章 概率论的基本概念,3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确 试验的所有可能结果；,1. 可以在相同的条件下重复进行；,我们把满足上述三个条件的试验称为随机试验。记为E,退 出,前一页,后一页,目 录,一 样本空间二 随机事件三 事件间的关系与运算,2 样
4、本空间，随机事件,第一章 概率论的基本概念,退 出,目 录,前一页,后一页,2 样本空间随机事件,一 样本空间(Space),定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点。（ 也叫基本事件,E1： S1 H H, HT，TH，TT E2 ：S2 1, 2, 3, 4, 5, 6 E3： S3 0,1,2,3 E4： S4 t | t 0 E5： S5 ( x , y ) | M0 x , y M1 ,第一章 概率论的基本概念,要求：会写出随机试验的 样本空间。,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事
5、件,退 出,前一页,后一页,目 录,E4：如果试验是测试某灯泡的寿命：,则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，,S 4： = t ：t 0,故样本空间,2 样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,E5： 调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数.,也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档. 这时，样本点有（高,高）,（高,中），(低,低）等9种，样本空间就由这9个样本点构成 .,这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成 .,随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S
6、的子集为 E 的 随机事件，记作 A, B, C 等等； 基本事件 : 有一个样本点组成的单点集； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件 : 空集。,二 随 机 事 件,我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 含的一个样本点在试验中出现。,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,两个特殊的事件：,必,件,然,事,例如，在掷骰子试验中， “ 掷出点数小于7”是必然事件;,即在试验中必定发生的事件，即样本空间常用S或表示;,不,件,可,事,能,即在一次试验中不可能发生的事件， 常用表示 .,而“ 掷出点数8”则是不可能
7、事件.,退 出,前一页,后一页,目 录,事件,基本事件,复合事件,（相对于观察目的 不 可再分解的事件）,（两个或一些基本事件并在一起，就 构成一个复合事件）,事件 B=掷出奇数点,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .,事件 Ai =掷出i点i =1,2,3,4,5,6,例如：S2 中,第一章 概率论的基本概念,事件 A=2,4,6 表示 “ 出现偶数点”;,事件 B=1,2,3,4 表示 “ 出现的点数不超过4”.显然它们都是样本空间的子集,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,1) 包含关系,三 、 事件间的关系与运算,第一章 概率论的基本概念,如果A发生必导致B发生，则,
8、2）相等关系,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,3) 和（并）事件,第一章 概率论的基本概念,事件 发生当且仅当 A, B 至少发生一个 .,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,第一章 概率论的基本概念,4) 积（交）事件,事件 发生当且仅当A , B 同时发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,第一章 概率论的基本概念,考察下列事件间的包含关系：,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,5) 差事件,第一章 概率论的基本概念,发生当且仅当 A 发生 B 不发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,6
9、) 互不相容（互斥）,7) 对立事件 （逆事件）,第一章 概率论的基本概念,请注意互不相容与对立事件的区别！,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,互斥与互逆的区别：,两事件A、B互斥：,两事件A、B互逆或互为对立事件,即A与B不可能同时发生.,除要求A、B互斥( )外，还要求,A+B=S,退 出,前一页,后一页,目 录,n个事件互斥与 两两互斥：,若n个事件A1，A2， ，An中任意两个事件都互斥,则称这n个事件互斥.,所以，若n个事件互斥，则其中任意两个事件都互斥.,退 出,前一页,后一页,目 录,对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之
10、，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么.,也就是说，要正确无误地“互译”出来.,退 出,前一页,后一页,目 录,例1：从一批产品中任取两件，观察合格品的情况. 记 A=两件产品都是合格品，,若记 Bi =取出的第 i 件是合格品，i=1,2,=两件产品中至少有一个是不合格品,A=B1B2,问如何用 Bi 表示A和 ？,A3 A4 A3 A4 如图(1)、(2)两个系统中令Ai表示第i个元件 工作正常”, Bi表示“第i个系统工作正常”. 试用A1, A2 , A3 , A4表示B1, B2. 解: (1) B1 = A1A2A3 A4 (2) B2 = (A1A3)( A2A4),
11、EX2 (1) A1 A2 (2) A1 A2,第一章 概率论的基本概念,例2，在S4 中,事件 A=t|t1000,表示 “产品是次品”,事件 B=t|t 1000,表示 “产品是合格品”,事件 C=t|t1500,表示“产品是一级品”,则,表示 “产品是合格品但不是一级品”;,表示 “产品是是一级品” ;,表示 “产品是合格品”.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,8) 随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,第一章 概率论的基本概念,结合律:,分配律:,De Morgan（德摩根）定律:,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,补充常用的关系及
12、习题 1.甲，乙两人同时向一目标射击一次观察中靶情况。设A甲中，B乙中，问 各表示什么事件? 是否是相等事件？2.一射手向目标射击3发子弹，Ai表示第次射击打中目标（i1，2，3。试用A1，A2，A3及其运算表示下列事件 （1 三发子弹都打中目标B （2第一发子弹打中目标而第二，第三发子弹都未打中C （3三发子弹恰有一发打中目标D （4三发子弹至少一发打中目标E （5三发子弹至多一发打中目标F,解: BA1A2A3 C= A1A2A3A1(A2A3) A123 DA1A2A3 = S-123 = =A11A212A3 E = A1231A2312A3 G= A1A2A31A2A3A12A3A1
13、A23 = A1A2A2A3A1A3,F=1 21 32 3,=A1 2 31A2 31 2 A31 2 3,第一章 概率论的基本概念,练习P29：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件.,（1）A 发生.,(2) A 发生，B 与 C 都不发生.,(3) A ,B , C 都发生.,(4) A ，B , C 至少有一个发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,第一章 概率论的基本概念,(5) A ，B , C 都不发生.,(6) A ，B , C 不多于一个发生.,(7) A ，B , C 不多于两个发生.,(8) A ，B ,
14、C 至少有两个发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,3 频 率 与 概 率,一 频率的定义和性质,定义: 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件A 发生的频率，并记成 fn(A) 。,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,它具有下述性质:,3 频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫做频率的稳定性.,请看下面的试验,（二 ） 频率的稳定性,3 频 率 与 概 率,实 验 者德摩根蒲 丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊,n nH fn(H),
