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1、第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解二、关于0-和0+初始值三、零输入响应和零状态响应 2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应二、阶跃响应,2.3 卷积积分一、信号时域分解与卷积二、卷积的图解 2.4 卷积积分的性质一、卷积代数二、奇异函数的卷积特性三、卷积的微积分性质四、卷积的时移特性,点击目录 ，进入相关章节,LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。,第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应,2.
2、1 LTI连续系统的响应,一、微分方程的经典解,y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t),2.1 LTI连续系统的响应,微分方程的经典解：y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）,齐次解是齐次微分方程y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。,例 描述某系统的微分方程为y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求
3、（1）当f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1时的全解；（2）当f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。,特解的函数形式与激励函数的形式有关。P41表2-1、2-2,齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。,2.1 LTI连续系统的响应,解: (1) 特征方程为2 + 5+ 6 = 0 其特征根1= 2，2= 3。齐次解为yh(t) = C1e 2t + C2e 3t 由表2-2可知，当f(t) = 2e t时，其特解可设为 yp(t) =
4、Pe t 将其代入微分方程得Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得 P=1 于是特解为 yp(t) = e t 全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0,（2）齐次解同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入
5、微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以 P1= 1 但P0不能求得。全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t= (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t 将初始条件代入，得y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。,2.1 LTI连续系统的响应,2.1 LTI连续系统的响应,二、关于0-和
6、0+初始值,若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。,例：描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-
7、)= 0，f(t)=u(t)，求y(0+)和y(0+)。,解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t) （1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-t 0,2.1 LTI连续系统的响应,（2）零状态响应yf(t) 满足yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6u(t) 并有yf(0-) = yf(0-) = 0 由于上式等号右端含有(t)，故yf”(t)含有(t)，从而yf(t)跃变，即yf(0+)yf(0-)，而yf(t)在t = 0连续，即yf(0+) = yf(0-) = 0
8、，积分得yf(0+)- yf(0-)+ 3yf(0+)- yf(0-)+2,因此，yf(0+)= 2 yf(0-)=2,对t0时，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6 不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3， 于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3 代入初始值求得 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0,2.2 冲激响应和阶跃响应,2.2 冲激响应和阶跃响应,一、冲激响应,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t),例1 描述某系统的微分方程为
9、 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。,解 根据h(t)的定义 有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t)h(0-) = h(0-) = 0先求h(0+)和h(0+)。,2.2 冲激响应和阶跃响应,因方程右端有(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含(t)，h(t)含u(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 1,考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1 对t0时
10、，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0 故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)u(t) 代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以h(t)=( e-2t - e-3t)u(t),2.2 冲激响应和阶跃响应,例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。,解 根据h(t)的定义 有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1)h(0-) = h(0-) = 0先求h(0
11、+)和h(0+)。 由方程可知， h(t) 中含(t) 故令 h(t) = a(t) + p1(t) pi(t) 为不含(t) 的某函数h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t) 代入式(1)，有,2.2 冲激响应和阶跃响应,a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t),整理得 a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t),利用(t) 系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12 所以 h(t) = (t) + p1(t) （2）h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3）h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3(t) （4）,对式(3)从0-到0+积分得 h(0+) h(0-) = 3 对式(4)从0-到0+积分得 h(0+) h(0-) =12 故 h(0+) = 3， h(0+) =12,
