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1、1 解析几何解析几何 一、填空题一、填空题 1.（2007 年）在平面直角坐标系 xOY 中，已知ABC 顶点 A（-4，0）和 C（4，0），顶 点 B 在椭圆上，则 。 2（2008 年）在平面直角坐标系中，椭圆 的焦距为 2c，以O为圆心，为半径作圆， 若过作圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 3.（2009 年）如图，在平面直角坐标系中， 为椭圆的四个 顶点，为其右焦点，直线与直线相交 于点 T，线段与椭圆的交点恰为线段的 中点，则该椭圆的离心率为 . 4.（2011 年）在平面直角坐标系中，已知点 P 是函数的图象上的 动点，该图象在 P 处的切线 交 y 轴于点 M，过点 P
2、作 的垂线交 y 轴于点 N，设线 段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是_ 2 5.（2012 年）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线 上至少存 在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最 大值是 二、解答题二、解答题 1（2007 年）（本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上 一点 C（0，c）任作一直线，与抛物线 y=x2相交于 AB 两点，一条垂直于 x 轴的直线，分别与线段 AB 和直线 交于 P，Q。 （1）若，求 c 的值；（5 分） （2）若 P 为线段 AB 的中点，求证：QA 为此抛物
3、线的切线；（5 分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。 （4 分） 2（2008 年）在平面直角坐标系中，记二次函数（）与 两坐标轴有 三个交点经过三个交点的圆记为 （1）求实数b的取值范围； （2）求圆的方程； （3）问圆是否经过定点（其坐标与的无关）？请证明你的结论 3.（2009 年）（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系中，已知圆和圆. 3 （1）若直线 过点，且被圆截得的弦长为， 求直线 的方程； （2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互 相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且 直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相 等，试求所有满足条件的点
4、P 的坐标。 4.（2010 年）（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为 A、B，右焦点为 F。设过 点 T（）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M 、，其中 m0,。 （1）设动点 P 满足,求点 P 的轨迹； （2）设，求点 T 的坐标； （3）设,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关）。 5.（2011 年）（本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐 标系中，M、N 分别是椭圆的顶点，过 坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P 在第一象限， 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于 点 B，
5、设直线 PA 的斜率为 k 4 （1）当直线 PA 平分线段 MN 时，求 k 的值； （2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d； （3）对任意 k0，求证：PAPB 6.（2012 年）（本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐 标系xOy 中，椭圆的左、右焦点分别为 ，已知和都在椭圆上， 其中 e 为椭圆的离心率 （1）求椭圆的方程； （2）设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 与直线平行，与交于点 P （i）若，求直线的斜率； （ii）求证：是定值 5 答案答案 一、填空题一、填空题 1. 2. 解析：设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA
6、，所以OAP 是等腰直角三角形， 故，解得 3. 解析： 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线的方程为：； 直线的方程为：。二者联立解得：，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则在椭圆上， ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得： 4. 解析：设则，过点 P 作 的垂线 ， 6 ，所以，t 在上单调增，在单调减， 。 5. 解析：圆 C 的圆心为，半径为 1；由题意，直线上至少存 在一点 ，以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点；故存在，使 得成立，即；而即为点 C 到直线的距离 ，故，解得，即k 的最大值是. 二、解答题二、解答题
7、1.（1）设直线 AB 的方程为 y=kx+c，将该方程代入 y=x2得 x2kxc=0 令 A（a，a2），B（b，b2），则 ab=c 因为，解得 c=2，或 c=1（舍去）故 c=2 （2）由题意知，直线 AQ 的斜率为 又 r=x2的导数为 r=2x，所以点 A 处切线的斜率为 2a 因此，AQ 为该抛物线的切线 （3）（2）的逆命题成立，证明如下： 设 Q（x0，c）若 AQ 为该抛物线的切线，则 kAQ=2a 7 又直线 AQ 的斜率为，所以 得 2ax0=a2+ab，因 a0，有 2.本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法 （）令0，得抛物线与轴交点是（0，b）； 令，
8、由题意 b0 且 0，解得 b1 且 b0 （）设所求圆的一般方程为 令0 得这与0 是同一个方程，故 D2，F 令0 得0，此方程有一个根为 b，代入得出 Eb1 所以圆 C 的方程为. （）圆 C 必过定点，证明如下： 假设圆 C 过定点 ，将该点的坐标代入圆 C 的方程， 并变形为 （*） 为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，结合（*）式得 ，解得 经检验知，点均在圆 C 上，因此圆 C 过定点。 3.本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合 分析问题的能力。满分 16 分。 (1)设直线 的方程为：，即 由垂径定理，得：圆心到直线 的距离， 结合
9、点到直线距离公式，得： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8 化简得： 求直线 的方程为：或，即或 (2) 设点 P 坐标为，直线、的方程分别为： ，即： 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂 径定理，得：圆心到直线与直线的距离相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故有：， 化简得： 关于的方程有无穷多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解之得：点 P 坐标为或。 4.本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求 解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 （1）设点 P（x，y），则：F（2，0）、B（3
10、，0）、A（-3，0）。 由，得 化简得。 故所求点 P 的轨迹为直线。 （2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（ ，） 9 直线 MTA 方程为：，即， 直线 NTB 方程为：，即。 联立方程组，解得：， 所以点 T 的坐标为。 （3）点 T 的坐标为 直线 MTA 方程为：，即， 直线 NTB 方程为：，即。 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到， 解得：、。 （方法一）当时，直线 MN 方程为： 令，解得：。此时必过点 D（1，0）； 当时，直线 MN 方程为：，与 x 轴交点为 D（1，0）。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0）。 （方法二）若，则由及，得， 1
11、0 此时直线 MN 的方程为，过点 D（1，0）。 若，则，直线 MD 的斜率， 直线 ND 的斜率，得，所以直线 MN 过 D 点。 因此，直线 MN 必过轴上的点（1，0）。 5.（1）M(-2,0),N(0,),M、N 的中点坐标为(-1,),所以 （2）由得，AC 方程：即： 所以点 P 到直线 AB 的距离 （3）法一：由题意设， A、C、B 三点共线，又因为点 P、B 在椭圆上， ，两式相减得： 法二：设, 11 A、C、B 三点共线，又因为点 A、B 在椭圆上, ,两式相减得：, , 6.【命题意图】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距 离公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力. 【解析】(1)设题设知，由点（1，）在椭圆上， 得=1，解得=1，于是， 又点（，）在椭圆上，=1，即，解得=2， 所求椭圆方程的方程是=1； （2）由（1）知(1,0),(1,0), ， 可设直线的方程为：，直线的方程为：， 设， 由，得，解得， 故=， 同理，=， （）由得=，解得=得=2， 12 ，直线的斜率为. （）， , , , 由 B 点在椭圆知,同理 , = 由知，+=，=， =，是定值.
