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1、1 解析几何中的定值定点问题（一）解析几何中的定值定点问题（一） 一、定点问题一、定点问题 【例 1】 已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的C 22 22 1(0) xy ab ab 3 2 圆与直线相切20xy 求椭圆 C 的方程； 设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，(4, 0)PMNCxPNCE 求直线的斜率的取值范围；PN 在的条件下，证明直线与轴相交于定点MEx 解：由题意知，所以，即，又因为，所以 3 2 c e a 222 2 22 3 4 cab e aa 22 4ab 2 1 1 1 b ，故椭圆的方程为： 22 4,1abC
2、C 2 2 1 4 x y 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 PNPN(4)yk x 联立消去得：， 2 2 (4) 1 4 yk x x y y 2222 (41)324(161)0kxk xk 由得， 2222 (32)4(41)(644)0kkk 2 1210k 又不合题意，0k 所以直线的斜率的取值范围是或PN 3 0 6 k 3 0 6 k 设点，则，直线的方程为， 1122 (,),(,)N xyE xy 11 (,)M xyME 21 22 21 () yy yyxx xx 令，得，将代入整理，得 0y 221 2 21 ()yxx xx yy 1122 (4),(4)yk
3、 xyk x 1212 12 24() 8 x xxx x xx 由得代入整理，得， 22 1212 22 32644 , 4141 kk xxx x kk 1x 所以直线与轴相交于定点MEx(1, 0) 【针对性练习针对性练习 1】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨xOyM 1 3 , 0F 2 3 , 0F4M 迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和CxAA: l ykxbCPQ 求轨迹的方程；C 当时，求与的关系，并证明直线 过定点0AP AQ kbl 解：点到，的距离之和是，的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为M 3 , 0 3 , 04MC4x 2 的椭圆
4、，其方程为 2 3 2 2 1 4 x y Q P O y x 将，代入曲线的方程，整理得 ，因为直线 与曲线交于不同的ykxbC 22 (14)8 240kxkxlC 两点和，所以 PQ 222222 644(14)(44)16(41)0k bkbkb 设，则， 11 ,P xy 22 ,Q xy 12 2 8 2 14 k xx k 12 2 4 14 x x k 且，显然，曲线与轴的负半轴交于点，所 22 12121212 ()()()()yykxb kxbk x xkb xxbCx2 , 0A 以，由，得 11 2 ,APxy 22 2 ,AQxy 0AP AQ 1212 (2)(2)
5、0xxy y 将、代入上式，整理得所以，即或经检 22 121650kkbb(2) (65 )0kbkb2bk 6 5 bk 验，都符合条件，当时，直线 的方程为显然，此时直线 经过定点点即2bkl2ykxkl2 , 0 直线 经过点，与题意不符当时，直线 的方程为lA 6 5 bkl 65 56 ykxkk x 显然，此时直线 经过定点点，且不过点综上，与的关系是：，且直线 经过定l 6 , 0 5 Akb 6 5 bkl 点点 6 , 0 5 【针对性练习针对性练习 2】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆1 59 22 yx 的左、右顶点为 A、B，右焦 点为 F。设过点 T（mt,
6、）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M),( 11 yx、 ),( 22 yxN，其中 m0,0, 0 21 yy。 （1）设动点 P 满足4 22 PBPF,求点 P 的轨迹； （2）设 3 1 , 2 21 xx，求点 T 的坐标； （3）设9t,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关） 。 【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力 和探究问题的能力。 解：（1）设点 P（x，y） ，则：F（2，0） 、B（3，0） 、A（-3，0） 。 3 由4 22 PBPF，得 2222 (2)(3)4,xyxy 化简得
7、9 2 x 。 故所求点 P 的轨迹为直线 9 2 x 。 （2）将 3 1 , 2 21 xx分别代入椭圆方程，以及0, 0 21 yy得：M（2， 5 3 ） 、N（ 1 3 ， 20 9 ） 直线 MTA 方程为： 03 5 23 0 3 yx ，即 1 1 3 yx， 直线 NTB 方程为： 03 201 03 93 yx ，即 55 62 yx。 联立方程组，解得： 7 10 3 x y ， 所以点 T 的坐标为 10 (7,) 3 。 （3）点 T 的坐标为(9,)m 直线 MTA 方程为： 03 093 yx m ，即(3) 12 m yx， 直线 NTB 方程为： 03 093
8、 yx m ，即(3) 6 m yx。 分别与椭圆1 59 22 yx 联立方程组，同时考虑到 12 3,3xx ， 解得： 2 22 3(80)40 (,) 8080 mm M mm 、 2 22 3(20)20 (,) 2020 mm N mm 。 （方法一）当 12 xx时，直线 MN 方程为： 2 22 22 22 22 203(20) 2020 4020 3(80)3(20) 8020 8020 mm yx mm mm mm mm mm 令0y ，解得：1x 。此时必过点 D（1，0） ； 当 12 xx时，直线 MN 方程为：1x ，与 x 轴交点为 D（1，0） 。 所以直线 M
9、N 必过 x 轴上的一定点 D（1，0） 。 （方法二）若 12 xx，则由 22 22 2403360 8020 mm mm 及0m ，得2 10m ， 此时直线 MN 的方程为1x ，过点 D（1，0） 。 4 若 12 xx，则2 10m ，直线 MD 的斜率 2 22 2 40 10 80 240340 1 80 MD m m m k mm m ， 直线 ND 的斜率 2 22 2 20 10 20 36040 1 20 ND m m m k mm m ，得 MDND kk，所以直线 MN 过 D 点。 因此，直线 MN 必过x轴上的点（1，0） 。 【针对性练习针对性练习 3】已知椭
10、圆 C 中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为 （）求椭圆 C 的x22 3 标准方程；（）若直线 ：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、l0ykxm kMN、MN、 右顶点） ，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线 过定点，并求出定点的坐标MNAl 解解: : （）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则abc 解得 椭圆 C 的标准方程为 4 分 222 22, 22 3, , c b abc 2, 3, a b 22 1 43 xy （）由方程组 消去，得 22 1 43 xy ykxm y 6 分 222 3484120kxkmxm 由题意， 2 22 84 344120kmk
11、m 整理得： 7 分 22 340km 设，则 1122 ,M x yN xy、 ， 8 分 12 2 8 34 km xx k 2 12 2 412 34 m x x k 由已知， 且椭圆的右顶点为，AMANA(2,0) 10 分 1212 220xxy y 即 ， 22 1212 1240kx xkmxxm 也即 ， 2 22 22 4128 1240 3434 mkm kkmm kk 整理得解得 或 ，均满足 11 分 22 71640mmkk2mk 2 7 k m 5 当时，直线 的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；2mk l2ykxk(2,0) 当时，直线 的方程为 ，过定点， 2
12、7 k m l 2 7 yk x 2 ( ,0) 7 二、定值问题二、定值问题 【例 2】 已知椭圆的中心在原点，焦点F在y轴的非负半轴上，点F到短轴端点的距离是 4，椭圆上的 点到焦点F距离的最大值是 6. ()求椭圆的标准方程和离心率e； ()若 F 为焦点F关于直线 3 2 y 的对称点，动点M满足 MF e MF ，问是否存在一个定点A，使 M到点A的距离为定值？若存在，求出点A的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 解：()设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac，由已知得 4 4,2 6 a ac ac ， 解得 ， . 所以椭圆的标准方程为 22 1 1612 yx . 离心率 21 .
13、 42 e ()(0,2),(0,1)F F ,设( , ),M x y由 MF e MF 得 22 22 (2)1 2 (1) xy xy 化简得 22 3314150xyy，即 222 72 )( ) 33 xy（ 故存在一个定点 7 (0, ) 3 A，使M到A点的距离为定值，其定值为 2. 3 【例 3】 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，P(2，0)为定点 ()若点 P 为抛物线的焦点，求抛物线 C 的方程； ()若动圆 M 过点 P，且圆心 M 在抛物线 C 上运动，点 A、B 是圆 M 与轴的两交点，试推断是否存在y 一条抛物线 C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由 解：() 设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.由已知，即， 2 2(0)ypx p(,0) 2 p 2 2 p 4p 故抛物线 C 的方程是 2 8yx ()设圆心()，点 A，B. 因为圆过点 P(2，0)，则可设圆 M 的方程为( , )M a b0a 1 (0,)y 2 (0,)yM . 令，得.则， 2222 ()()(2)xaybab0x 2 2440ybya 12 2yyb . 所以. ，设抛物线 C 的 12 44yya 222 121212 |()()441616AByyyyyyba
