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1、1FAPHBQ解圆锥曲线问题常用方法（一）解圆锥曲线问题常用方法（一）【 【学学习习要点要点】 】解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，当 r1r2时，注意 r2的最小值为 c-a：第二定义中，arr221r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次
2、的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法” ，即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0)，将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）与
3、直线相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)，则有。)0( 12222 baby ax020 20kby ax（2）与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有)0, 0( 12222 baby ax020 20kby ax（3）y2=2px（p0）与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.【 【典型例典型例题题】 】例例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为_2(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦
4、点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。分析：分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则，因而易发现，PFPH 当 A、P、F 三点共线时，距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作 QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解：（1） （2，）22xy0ABC MD 5F FPHy0xA连 PF，当 A、P、F 三点共线时，最小，此时 AF 的方程为 即 y=2PFAPPHAP) 1(13024xy(x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2)， （注：另一交点为()，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去）222,21（2） （）1 ,41过 Q 作 QRl 交
5、于 R，当 B、Q、R 三点共线时，最小，此时 Q 点的纵坐标为 1，代入 y2=4xQRBQQFBQ得 x=，Q()411 ,41点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例例 2、F 是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭13422 yx圆上一动点。（1）的最小值为 PFPA （2）的最小值为 PFPA2分析：分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考FP 虑问题。解：（1）4- 5设另一焦点为，则(-1,0)连 A,PFFFF542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当 P 是A 的延长线与椭圆的交点时, 取
6、得最小值为 4-。FPFPA 5（2）作出右准线 l，作 PHl 交于 H，因 a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，21PHPFPHPF2,21即PHPAPFPA 2当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142 Axca例例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。分析：分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C 共线，B、D、M 共线） 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” （如图中的） 。MDMC 3解：如图，MDMC 26MBMA
7、DBMBMAAC即 （*）8 MBMA点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15 轨迹方程为1151622 yx点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！4) 1() 1(2222yxyx例例 4、ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=sinA,求点 A 的轨迹方程。53分析：分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系。解：解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2R
8、sinB=2RsinA53 53BCACAB53即 （*）6 ACAB点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为 （x3）116922 yx点评：点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。分析：分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设 A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出 y0关于 x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（
9、2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。解法一：解法一：设 A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB 中点 M(x0，y0)4xy0MABA1A2M1M2B1B2则 02 22 102122 22 12 21229)()(yxxxxxxxxx由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9，2 02 0041944xxy1149) 14(49442 02 02 02 00x
10、xxxy , 5192450y当 4x02+1=3 即 时，此时220x45)(min0y)45,22(M法二：法二：如图，32222ABBFAFBBAAMM， 即，232MM23 411MM， 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。451MMM 到 x 轴的最短距离为45点点评评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于 x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为 A、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形 “压扁”时，两边之和等
11、于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB 是否能经过焦点F，而且点M 的坐标也不能直接得出。 5xyF1F20ABCD例例 6、已知椭圆过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于)52( 1122 mmy mxA、B、C、D、设 f(m)=,（1）求 f(m),（2）求 f(m)的最值。CDAB 分析：分析：此题初看很复杂，对 f(m)的结构不知如何运算，因 A、B 来源于“不同系统” ，A 在准线上，B 在椭圆上，同样 C 在椭圆上，D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到 x 轴上，立即可得防)()(22)(2)()(CDABCDA
12、BXxxxxxxxmf)()(2DACBxxxx)(2CBXx 此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解：解：（1）椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点 F1(-1,0)1122 my mx则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-)52(122mmm12222)()(2)()(2)(2121mmxxxxxxxxxxCDABmfCACDAB（2）)1211 (2121122)(mmmmf6当 m=5 时，9
13、210)(minmf当 m=2 时，324)(maxmf点评：点评：此题因最终需求，而 BC 斜率已知为 1，故可也用“点差法”设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、C 坐CBxx 标代入作差，得，将 y0=x0+1，k=1 代入得，可见0100kmy mx01100mx mx 120mmx122 mmxxCB当然，解本题的关键在于对的认识，通过线段在 x 轴的“投影”发现是解此CDABmf)(CBxxmf)(题的要点。【 【同步同步练习练习】 】1、已知：F1，F2是双曲线的左、右焦点，过 F1作直线交双曲线左支于点 A、B，若，12222 by axmAB ABF2的周长为（ ）
14、A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是 （ ）A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x3、已知ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列，且，点 B、C 的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，ACAB 则顶点 A 的轨迹方程是（ ）A、 B、 13422 yx)0( 13422 xyxC、 D、)0( 13422 xyx)00( 13422 yxyx且4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1，0)，其长轴长为 4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ）A、 B、) 1(49)21(22xyx) 1(49)21(22xyx7C、 D、) 1(49)21(22xyx) 1(49)21(22xyx5、已知双曲线上一点 M 的横坐标为 4，则点 M 到左焦点的距离是 116922 yx6、抛物线 y=2x2截一组斜率为 2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p(-2，0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个，则 k= 10、设点 P 是椭圆上的动点，
