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1、平面弯曲杆件 （二）,一、弯曲正应力和强度 二、梁的切应力和强度 三、提高弯曲强度的措施 四、拉压与弯曲组合 五、压杆稳定,一、弯曲正应力和强度,实验研究,P,P,a,a,Pa,纵向线由直线变为弧线，上部纵向线压缩，下部纵向线拉伸； 梁变形后横向线仍为直线，且仍与纵向线垂直。,平截面假设：截面变形后仍为平面，且仍与梁轴线垂直,y,z,Z为中性轴：该层纤维既不伸长也不缩短,1、纯弯曲下的应力,几何关系,dx,d,y,定义,为曲率,即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离 y 成正比。,y,z,y,1、纯弯曲下的应力,物理关系,处在y位置纤维层的正应力与坐标y成正比,z
2、,x,y,X方向力的平衡,静力关系,为截面对于z轴的静矩或一次矩。,横截面对于中性轴 z 的静矩等于零， ；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；,1、纯弯曲下的应力,z,x,y,可以证明，其他平衡关系均自动满足,对z轴力矩的平衡,正应力分布公式,上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。,1、纯弯曲下的应力,横力弯曲的变形特征,B,A,dx,x,剪切变形,dv,dx,Q,Q,M,M,dx,d,弯曲变形,剪切变形与剪力成正比，弯曲变形与弯矩成正比。,2、横力弯曲时的正应力,横力弯曲的正
3、应力分布公式,对细长杆（l/h)5，剪切变形远比弯曲变形小,剪切变形可以忽略,对短粗杆（l/h)5，剪切变形不能忽略。,对细长杆,最大正应力计算,在总荷载不变的情况下，弯矩随跨度成线性增加，而剪力不随跨度增加。,式中，Wz为截面的几何性质，称为抗弯截面模量，其单位为m3。,中性轴 z 为横截面对称轴的梁 其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；,2、横力弯曲时的正应力,中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 ，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。,矩形截面,圆形截面,2、横力弯曲时的正应力,例题 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险
4、截面上的最大正应力和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力。,由型钢规格表查得56a号工字钢截面,危险截面上点a 处的正应力为,抗弯强度条件,拉压性质相同的材料,示例3-1：简支梁受均布荷载。=10MPa。校核强度。,2kN/m,4m,210mm,140mm,z,y,M图,4kNm,许可荷载,3、梁的弯曲强度计算,拉压性质不相同的材料,抗弯强度条件,最大拉应力,最大压应力,计算步骤 作弯矩图，求最大弯矩； 计算惯性矩或截面抗弯模量； 强度计算。,示例3-3：悬臂梁受均布荷载。,q,1.42m,截面为圆环，D=90mm，d=60mm, =140MPa。求许可荷载。,M图,-,ql2/
5、2,3、梁的弯曲强度计算,示例3-5：外伸梁受集中荷载。校核强度。,t=30MPa， c=30MPa。 Iz=0.57310-5m4，y1=0.072m，y2=0.038m。,B,A,24kN,C,0.2m,9kN,RA,RB,0.3m,0.3m,D,2.7kNm,1.8kNm,z,y,y2,y1,作弯矩图,拉压性质不相同的材料,抗弯强度条件,最大拉应力,最大压应力,3、梁的弯曲强度计算,B,A,24kN,C,0.2m,9kN,RA,RB,0.3m,0.3m,D,2.7kNm,1.8kNm,z,y,y2,y1,C截面,B截面,强度校核,3、梁的弯曲强度计算,二、梁的切应力和强度,1、矩形截面梁
6、,z,y,z,h,b,y,切应力分布公式,max,最大切应力在中性轴位置,2、工字型截面梁,max,b,3、圆形,z,y,B,A,b,5、薄壁圆环,4、薄壁箱型,与工字型相似,max,对等直梁，上式可改写为：,与正应力强度条件应用相似，利用切应力强度条件，也可以对梁进行切应力强度校核、设计截面尺寸和确定许用荷载。,切应力强度条件,例 T形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知sy=100MPa，sL=50MPa，t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：1) C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。,2）作FS、M图如图所示,该梁满足强度要求,三
7、、提高弯曲强度的措施,降低Mmax值,1、改变荷载的位置和作用方式,B,A,P,l/2,Pl/4,l/2,B,A,P,l/4,3Pl/16,3l/4,B,A,P,l/4,Pl/8,l/4,B,A,l,P/l,Pl/8,提高Wz值,矩形截面,方形截面,圆形截面,按面积相等，有,面积分布离中性轴越远，Wz越大。 故工字形截面为最好。,2、改变支座的位置,l/5,l/5,q,0.02,0.02,0.025,B,A,l/2,l/2,3、增加支座,q,0.047,0.008,0.008,烟 囱,牛 腿 柱,1、工程应用,四、拉压与弯曲组合,+,=,2、应力公式及强度,例题：铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸
8、如图所示，材料的许用拉应力t30MPa，许用压应力c120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。,解：（1）计算横截面的形心、面积、惯性矩,（2）立柱横截面的内力,（3）立柱横截面的最大应力,（2）立柱横截面的内力,（4）求压力F,五、压杆稳定,1、稳定性概念,刚体平衡稳定性,稳定的 平衡,不稳定的平衡,随遇 平衡,P较小,F,P较大,F,PCR,F,PCR-临界压力,压杆稳定性：压杆保持其直线平衡状态的能力,拱失稳,梁弯曲失稳,储油罐,a,a,象腿现象,2、临界力、欧拉公式,长度系数，与压杆的支座条件有关,=1，两端铰支；,=2，一端固定，一端自由；,l,l,=0.5，两端固定；,l/4,l
9、/4,=0.7，一端固定，一端铰支；,0.7l,=1，一端固定，一端定向支座；,l/2,l/2,注意空间效应,1、关于惯性矩,x,z,y,y,z,h,b,x,z,x,y,2、关于支座,临界应力,压杆的长细比与杆长、支座条件、截面面积分布有关。,CR,p,p,欧拉公式的应用范围,3、临界应力、欧拉公式的应用范围,示例1：计算临界力,l,x,y,x,z,y,b,a,l,y,z,b,a,z,l=4m,a=0.12m,b=0.2m,E=210GPa,p=200MPa。,在xz平面内,在xy平面内,yz，压杆在xz平面内失稳,yp，可用欧拉公式,4、稳定校核,稳定条件,稳定安全系数一般比强度安全系数要大
10、些。例如对于一般钢构件，其强度安全系数规定为1.41.7，而稳定安全系数规定为1.52.2，甚至更大。,折减系数或稳定系数：, 是的函数，即 = () ，其值在01之间。,安全条件,稳定性计算主要解决三方面的问题：(1) 稳定性校核；(2) 选择截面；(3) 确定许用荷载。,例题 机械中的工字形截面连杆，两端为柱形铰，从而该连杆如在xy平面内失稳，可取长度因数mz=1.0；如在xz平面内失稳，则可取my=0.6。已知：连杆由Q235钢锻造成型，它属于a类截面中心压杆。该连杆承受的最大轴向压力为F = 35 kN，材料的强度许用应力s =206 MPa。试校核其稳定性。,解：1. 工字形截面面积A和形心主惯性矩Iz，Iy,2. 横截面对z轴和对y轴的惯性半径iz，iy,3. 连杆的柔度,连杆两端在局部为矩形截面，它的形心主惯性矩为,分别比工字形截面的 Iz 和 Iy 大了15.5和126， Iy远大于Iy。,这就表明两端的矩形截面部分对中间工字形截面部分在xz平面内的弯曲位移起到明显的约束作用，故在按工字形截面的Iy检算在xz平面内的稳定性时取l2=580 mm作为连杆的长度。于是有,4. 连杆的稳定性校核,按较大的柔度值ly68.9由Q235钢a类截面压杆的jl表，以内插法求得,从而得稳定许用应力：,而连杆横截面上的工作应力为,因s s st，故满足稳定性要求。,
