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1、P89-2,P75-6,必为跳跃间断点,P75-7,P85-5,P85-10,P85-11,存在,上一致连续. 因此对上述，存在正数,使对任意,于是,P86-18,P89-6,恩弧丶居t1.设函数丁在(a,5)连续,且/(a+0)与5一0)为有限值.证明:(1)了在(a,8)内有界(2)若存在$E(a,5),使得/($)乌maxt/f(a+0),7(8-0)1,则下在(a,5)内能取到最大值.证:(1)把万延拓到闭区间a,5:定义(a+0),z=aF(z)=壬/(工)，z(a,5)万(一0),z=5则F(z)在a,5上连续,传而丁(z)在a,6一有界,由于乙E(a,5)时,F(z)=(z),于
2、是丁在(a,5)上有界.、(2)设F(z)在a,5上的最大值为F(zo),zoEa,5,则厂6)=F(5)如F(z0),5E(a,5)若/(6)=F(zo),则F(S)=f($)也是F(z)在a,5上的最大值.若f($)人(zo),则由题设知F(z0)F(a+0)=F(a)丁F(zo)f(5-0)=F(5),从而a一zo一5,又因在(a,5)上,F(z)=f(z),故f(z)在(a,5)内取得最大值.例6证明F在(a,5)上一致连续的充要条件是;FCo在(a,)上连续,一存在口驴黜/(欠)hm/(藁)亨明:先葛宪分忠:丑厂90,xE(a,旦,8(9=驻肥/(哀)0imjJt0,2申条件可知s(
3、o在a,目上达续,从市“8(在a,5上一致进续(由连续函数在闭区间上的躯体性质,再由一致逊续的定义,又知gn在(a,5)上也一致连续,东在(a,旦上8C9=/GD,所伯证得G在1a;万土一攸进统:再证必要性:由了)圭a卫)上一致迹绪的定义,一s0,亏80当Ys(a,旭且|Y-|5时,有7G0-JG|0,使得,当zE(a,a+581)时,有fz)八c),当zE(5-8,5)时(z)/(c)任取zE(a,a+8),办E(-跋izt一丿zs,于是有z(c),za)c).由于/Cz)在z1,久C(a;8)上逊续.所以/z)在zt,za上取最小值,且最小值在(zl,za)内取得,设为厂z0),则f(zo
4、)么/(z).又当zE(a,z1)或E(za,)时有z)c),于是对任意zE(a,5)时有fCz)zo),而zoE(zu,za)C(a,5).故厂z)在(a,5)内有最小值3.设函数一在区间上连续,证明;(1)若对任何有理数rET,有fCr)=0,则在T上一(z)三0;(2)若对任意两个有理数r,一A,有f(r)一f(),则了在T上严格增(1)YzoE,若z为有理数,则a)=0着z为无理数.则存在有理数歹(r使re/VeN+且鼬力一z,由一在上途续,知明克g3Kh)由归结原则,知”limfCr)=/Cz)而噩什默=lm0=0因此/(幻y)具d.由此,对于YzoET,有fCz)一0,即在T上万(
5、z)世0.(2)对任意的t,zzCa,5,zizl(n-+co),rn|递增旦r一zzn一心rfi列曰函数的连缎作与投院性质史知f=ImJ(r)JtmJJm0,当xsa,切时,要使1一xI0,V60,3r,x“S1,蚀Lx一吉|K5但|f(x)-x巴5.)取s=1,v50,取x=言rz=【_+吾=则虽然惭_xz吾况但是2。01一训I+昔【=占u例2当常数/is(0,时,幄函数x*是L,+)上的一致连续函数证:L5x0,令5=s0,则当x,xzeL+c),忆一涮瘘时总成立邹-玮n-|5=口例3(逊续但不一致这续的函数)当常数is(L+史时,霉函数x不是,+吊上的一致逊续函数(这说明两个一致连续函数的积可能不是一致连续函数)取0=1证:仪5xxr气y一=x气(p一力.VETN体二几Y二十浠】则l一)=凰卜】_0，_y二(翼蓁_xh1(u-xm)口17_l由和题1便知x*不是tF)上的一致逢续函数.口求证y=x3畔L+oo)上一致连续求证y=畔L+o)上不一致连续
