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1、工程力学,2018年10月16日星期二,单元八 弯曲,如图8-1所示，运动员位于双杠的哪个位置时，双杠变形最大，最易破坏？本项目主要研究此类问题,单元八 弯 曲,课题一 平面弯曲梁的计算简图 课题二 平面弯曲时横截面上的内力 课题三 剪力图弯矩图 课题四 纯弯曲时横截面上的应力 课题五 梁的正应力强度计算 课题六 提高弯曲强度的主要措施 课题七 梁的变形及计算 课题八 梁的刚度计算及提高弯曲刚度的主要措施,单元八 弯 曲,课题一 平面弯曲梁的计算简图,单元八 弯 曲,一、弯曲的概念,上述实例具有相同的受力特点：外力垂直于杆的轴线，因而发生相同形式的变形：轴线由直线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2、通常将只发生弯曲（或以弯曲为主）变形的构件，称为梁。,二、平面弯曲的概念,若作用在梁上的外力（包括力偶）都位于纵向对称平面内，且力的作用线垂直于梁的轴线，则变形后梁的轴线将是该平面内的曲线，这种弯曲称为平面弯曲。,三、梁的类型,工程实际中，按照梁的支座情况，将梁分为三种类型： 简支梁。梁的两端均有约束，其中一端可简化为固定铰支座，另一端可简化为可动铰支座。如图8-1c所示桥式吊车横梁 。 悬臂梁。梁的一端有约束，一端自由，且该约束可简化为固定端。如图8-1a所示跳水板 。 外伸梁。约束简化情况与简支梁相同，但梁的一端或两端伸出支座之外。如图8-1b所示的火车轮轴 。,四、载荷简化,作用在梁上的
3、外力包括载荷和支座反力两部分。梁上的载荷，可简化为如图所示的三种。 集中载荷。图中的力F，单位是N或kN。 集中力偶。图中的M，单位是Nm或kNm。 均布载荷。图中的均布力q，单位是N/m或kN/m。,课题二 平面弯曲时横截面上的内力,单元八 弯 曲,一、剪力和弯矩 的概念,假想沿n-n截面将梁分为两段，由于整个梁是平衡的，它的任一部分也应处于平衡状态。为了维持左段平衡，n-n截面上必然存在两种内力分量： 力FQ：作用线平行于截面并通过截面形心，称为剪力FQ。 力偶：其作用面在纵向对称面内，其力偶矩称为弯矩M。,二、剪力和弯矩的计算法则,某截面上剪力等于此截面一侧所有外力的代数和，即剪力：,或
4、,二、剪力和弯矩的计算法则,某截面上弯矩等于此截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和，即弯矩：,或,三、F 与M的正负规定,以某一截面为界，左右两段梁发生左上右下的相对错动时，该截面上剪力为正，反之为负，如图a、b所示，简称左上右下为正。,三、F 与M的正负规定,若某截面附近梁弯曲呈上凹下凸状时，该横截面上的弯矩为正，反之为负，如图c、d所示，简称上凹下凸为正。,三、F 与M的正负规定,由外力计算剪力时，截面左侧向上的外力为正，向下的外力为负。外力代数和为正时，剪力为正，反之为负。 由外力计算弯矩时可规定：截面左侧对截面形心顺时针的外力矩为正，反之为负；截面右侧情况与此相反，即左顺右负为正。
5、,例 8-1,悬臂梁受均布载荷作用，如图a所示。试求距A端为x的截面上的剪力和弯矩。,解 （1）求支座反力。取AB梁为研究对象，由平衡条件得：,FB=ql,（2）求剪力和矩。取距A端为x的截面左侧为研究对象，如图8b所示，得：FQ（x）=qx,（3）若取x截面右侧为研究对象，如图c所示，得：,课题三 剪力图弯矩图,单元八 弯 曲,从上节例题可以看出，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为的函数，即：,上面的函数表达式，即为梁的剪力方程和弯矩方程。,也可用图线表示梁各横截面上剪力FQ和弯矩M沿轴线变化的情况。这种图线分别
6、称为剪力图和弯矩图。,作图的基本方法是，平行于梁轴线的坐标表示梁横截面的位置，纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩。,例8-1如图所示简支梁是齿轮传动轴的计算简图。试列出它的剪力方程和弯矩方程，并做出剪力图和弯矩图。,解（1）求支座反力。取整个梁为研究对象，由平衡方程求得：,（2）列剪力方程和弯矩方程。此梁在C点有集中力作用，故用一个方程已不能描述全梁的剪力或弯矩情况，必须分段列出剪力方程和弯矩方程，全梁分为AC和CB两段。设A为原点，AC段和CB段的任一截面位置分别以、表示，并以截面左侧的外力计算FQ、M，则它们的方程分别为： AC段,(a),(b),CB段,(c),(d),（3）画剪力图和弯矩
7、图。首先作两直角坐标系及图，横轴与梁轴线平行，原点O与梁左端对齐，坐标代表横截面位置，纵坐标分别代表对应截面的剪力和弯矩，然后按方程作图。由式(a)、(c)可知，在AC和CB两段的剪力均为常数，故此两段剪力图是与轴平行的水平线，如图8-10b所示。由式(b)、(d)可知，在AC和CB两段弯矩均是坐标的一次函数，故此两段的弯矩图为斜直线。各段两端点对应截面的弯矩，分别由式(b)和(d)确定。,AC段,CB段,，,按比例描出上述各点后，以直线相连，便得弯矩图，如图c所示。,（4）确定|FQ|max和|M|max。当ab时有：,当,时，即集中力作用于梁的中点时有：,由Q、M图可见，集中力F作用处，M
8、图发生转折；Q图从C-点突变至C+点，即当截面从左向右无限趋近截面C时，其上的剪力为,一旦越过截面C，变为,，剪力发生突变，突变的数值等于：,由以上例题，可以得出剪力图、弯矩图一些规律 (1)分界线之间，梁上无分布载荷作用，即q=0，剪力图是平行于轴的直线，弯矩图是斜直线。 (2)梁在某一段内有均布载荷，即q=c（常数），剪力图是斜直线，弯矩图是抛物线。若均布载荷向下，剪力图向右下斜()，弯矩图为向上凸()的抛物线；均布载荷向上，该剪力图向右上斜()，弯矩图为向下凸()的抛物线。若某截面的Q=0，则此截面处弯矩有极值。,(3)在集中力作用处，剪力图有一突变，突变的大小与方向等于集中力（自左向右
9、作图），M图发生转折。,在集中力偶作用处，弯矩图将产生突变，突变大小等于外力偶矩的数值。自左向右作图时，若力偶为顺时针转向，弯矩图向上突变；若力偶为逆时针转向，弯矩图向下突变。,二、FQ、M图的简捷作法,由上述可知，根据FQ、M图的特点，便可判断FQ、M图的大致形状，因而作图时，无须建立FQ、M方程，而直接根据FQ、M图的特点绘制，即简便又迅速。下面举例说明。,例:试用简捷作法作如图所示简支梁的剪力图和弯矩图。,解（1）求支座反力。 由对称性知：FA=FB=F （2）分段。梁应分AC、CD、DB三段。 （3）判断FQ、M图的大致形状。各段上q(x)=0，FQ图为水平线，M图为斜直线。,（4）分
10、段画FQ图。因FQ图为水平线，所以只需确定每段FQ图上任一点纵坐标，即每段任一截面的FQ值，列表如下：,根据以上数据，按比例作水平线，即得FQ图，如图b所示。 （5）分段作M图。M图为斜直线，需确定直线上两点坐标。将各段起点和终点的M值列表如下：,由此得四点(0,0)、（a,Fa）、（L-a）、（L，0）。然后按比例描点、连线，便得弯矩图，如图C所示 。,课题四 纯弯曲时横截面上的应力,单元八 弯 曲,一、纯弯曲的概念,从图中看出，在AC和DB段内梁的各个横截面上既有剪力又有弯矩，梁发生弯曲变形的同时，还伴有剪切变形，这种平面弯曲称为横力弯曲。在CD段内，梁的各个横截面上剪力等于零，而弯矩为常
11、量，这种平面弯曲为纯弯曲。,二、纯弯曲时梁横截面上的正应力,1、变形现象和假设,观察右图变形现象可以发现：,（1）横向线在变形后仍为直线且仍与纵向线垂直，但发生了相对转动。,（2）纵向线变成了曲线，靠近凹边的线段缩短，凸边的线段伸长。如,由于变形的连续性，中间必有一层纤维的长度不变。这一层纤维称为中性层，如右图所示，中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面，中性层与横截面的交线，称为中性轴（z）。,中性轴必然通过横截面的形心，中性轴是横截面上压应力和拉应力的分界线。,2.纯弯曲时梁横截面上的应力,纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式 ：,式中-横截面上距中性轴为的各点正应力；,M-横截面上的弯矩；
12、,-计算正应力的点到中性轴的距离；,-横截面对中性轴的惯性距，它表示截面的几何性质，是一个仅与截面形状和尺寸有关的几何量，反映了截面的抗弯能力，常用单位有m4、cm4和mm4。,梁弯曲变形时，横截面上任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，亦即横截面上的正应力沿截面高度按直线规律变化；中性轴上各点，正应力为零；离中性轴最远的点，正应力最大，弯曲正应力沿截面宽度方向（距中性轴等距的各点）正应力相同，如右图所示。,课题五 梁的正应力强度计算,单元八 弯 曲,一、最大弯曲正应力,强度计算需要确定最大应力值，产生最大应力的截面和点，分别称为危险截面和危险点。弯曲时，横截面上离中性轴最远的点，正应力最
13、大。,令,则,单元八 弯曲,课题五 梁的正应力强度计算,二、抗弯截面系数,已知,在上式中， WZ称为抗弯截面系数，它是仅与截面形状和尺寸有关的几何量，其常用单位是m3、cm3和mm3。它是反映直梁横截面抵抗弯曲破坏能力的几何量。,其中，矩形和圆形的抗弯截面系数分别为：,矩形,圆形,单元八 弯曲,课题五 梁的正应力强度计算,三、弯曲正应力强度条件及其应用,在求得最大弯曲正应力后，其弯曲的强度条件如下：,对抗拉压强度相等的塑性材料：,对抗拉压强度不等 的脆性材料：,根据上述强度条件，可以用来解决强度校核、选择截面和确定许可载荷这三类问题。,单元八 弯曲,课题五 梁的正应力强度计算,例8-9如图所示
14、为一螺旋压板夹紧装置，已知工件受压紧力F=2kN，板长3a=300mm，压板材料的弯曲许用应力,试校核压板的强度。,单元八 弯曲,课题五 梁的正应力强度计算,解：压板可简化为图b所示的外伸梁。,（1）作弯矩图，判断危险截面。弯矩图如图c所示，C截面弯矩最大，且有螺栓孔，抗弯截面系数最小，为危险截面，其上弯矩：,（2）计算危险截面的抗弯截面系数。,截面对中性轴的惯性矩：,单元八 弯曲,课题五 梁的正应力强度计算,（3）校核压板的强度：,故压板的强度足够。,课题六 提高弯曲强度的主要措施,单元八 弯 曲,一、降低最大弯矩值Mmax,梁的最大弯矩值Mmax不仅取决于外力的大小，而且还取决于外力在梁上
15、的分布。力的大小由工作需要而定，而力在梁上分布的合理性，可通过支座与载荷的合理布置达到。,例如右图a所示，在均布载荷作用下的简支梁，最大弯矩为：,若将两端支承各自向里移动0.2L，如图b所示，则最大弯矩减小为：,又如右图a所示简支梁AB，集中力F作用于梁的中点，则,若按图b所示，将F移至距支座A点处，则,机器中常见某些齿轮轴，把齿轮安装在紧靠轴承处， 这就是使轴上的集中力靠近支座，可大大减小轴的最大弯距。此外在结构允许的前提下，应尽可能把集中力改变为分散的较小的集中力。,二、选择合理的截面形状,1.根据截面的几何特性选择截面,合理的截面形状应该是截面积A较小而抗弯截面系数较大，可用比值WZ/A
16、来衡量截面形状的合理性和经济性 。,几种常用截面的比值,(0.270.31)h,(0.270.31)h,选择合理截面的原则是使尽量多的材料分布到弯曲正应力较大的、远离中性层的边缘区域；在中性层附近区域留用少量材料，以使材料得到充分利用。,2.根据材料特性选择截面,在讨论截面的合理形状时，还应考虑到材料的特性。对于抗拉压强度相等的塑性材料，可选用关于中性轴对称的截面，常采用矩形、工字形等形状截面，这样可使截面上的最大拉（压）应力同时达到材料的许用应力。而对于抗拉、压强度不相等的脆性材料，宜采用形等不对称于中性轴的截面，且使中性轴靠近于受拉一侧。,三、采用等强度梁,一般情况下，梁横截面上的弯矩是随截面位置变化而变化的。对于等截面梁来说，只有在弯矩为最大值的截面上，最大应力才有可能接近许用应力。其余各截面上弯矩较小，应力也就较低，材料没有充分利用。从强度观点看，如果在弯矩较大处采用较大的截面，在弯矩较小处采用较小的截面，就比较合理。为此，采用变截面梁，使各截面的最大应力都达到许用应力，这种梁称为等强度梁。,
