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1、,3.2 动量算符和角动量算符,3.3 电子在库仑场中的运动,一、电子在库伦场中的运动（辏力场的一种形式）,体系 Hamilton 量,U(r)=-Zes2/r,考虑一电子在一带正电的核 所产生的电场中运动，电子 质量为，电荷为 -e，核电 荷为 +Ze。取核在坐标原点， 电子受核电的吸引势能为：,H的本征方程,对于势能只与 r 有关而与, 无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是方程可改写为：,2.求解 Schrodinger 方程,（1）分离变量 化简方程,注意到 L2 Ylm =(+1) 2 Ylm 则方程化为：,令 R(r) = u(r) / r 代入上式得：,若令,讨论 E 0
2、 情况，方程可改写如下：,于是化成了一维问题，势V(r)称为等效势，它由离心势和库仑势两部分组成。,令,（2）求解,(I) 解的渐近行为, 时，方 程变为,所以可 取 解 为,有限性条件要求 A= 0, ,2,(II) 求级数解,令,为了保证有限性条件要求：,当 r 0 时 R = u / r 有限成立,即,代入方程,令 =-1 第一个求和改为:,把第一个求和号中= 0 项单独写出，则上式改为：,再将标号改用 后与第二项合并， 代回上式得：,s(s-1)-( +1)b0 = 0, s(s-1)- ( +1) = 0,S = - 不满足 s 1 条件，舍去。,s = +1,高阶项系数：,(+ s
3、 + 1)(+ s )- ( + 1)b+1+(-s)b = 0,系数b的递推公式,注意到 s = +1,上式之和恒等于零，所以得各次幂得系数分别等于零，即,3.使用标准条件定解,（3）有限性条件,1. 0 时， R(r) 有限已由 s = + 1 条件所保证。,2. 时， f () 的收敛性 如何？ 需要进一步讨论。,所以讨论波函数 的收敛 性可以用 e 代替 f (),后项与前项系数之比,可见若 f () 是无穷级数，则波函数 R不满足有限性条件，所以必须把级数从某项起截断。,与谐振子问题类似，为讨论 f () 的收敛性现考察级数后项系数与前项系数之比：,最高幂次项的 max = nr,令
4、,注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+ + 1,则,量 子 数 取 值,由 定 义 式,由此可见，在粒子能量 小于零情况下（束缚态） 仅当粒子能量取 En 给出 的分立值时，波函数才满 足有限性条件的要求。, En 0,将= n 代入递推公式：,利用递推公式可把 b1, b2, ., bn-1 用b0 表示 出来。将这些系数代入 f ( )表达式得：,其封闭形式如下：,缔合拉盖尔多项式,总 波 函 数 为：,至此只剩 b0 需要归一化条件确定,则径向波函数公式：,径向波函数,第一Borh 轨道半径,使用球函数的 归一化条件：,利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数归一化系数类似的方
5、法就可求出归一化系数表达式如下：,从而系数 b0 也就确定了,4.归一化系数,下面列出了前几个径向波函数 R n l 表达式：,（1）本征值和本征函数,（2）能级简并性,能量只与主量子数 n 有关，而本征函数与 n, , m 有关，故能级存在简并。,当 n 确定后， = n - nr- 1，所以 最大值为 n - 1。当 确定后，m = 0,1,2, 。 共 2 + 1 个值。所以对于 E n 能级其简并度为：,即对能量本征值En由 n2 个本征函数与之对应，也就是说有 n2 个量子态的能量是 En。 n = 1 对应于能量最小态，称为基态能量，E1 =Z2 es4 / 2 2，相应基态波函数
6、是 100 = R10 Y00，所以基态是非简并态。,当 E 0 时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。,n = nr+ + l = 0,1,2,. nr = 0,1,2,.,二、总结,3.4 氢原子,纵坐标是,3.5 厄米算符本征函数的正交性,2.简并情况,上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。,如果 F 的本征值 是f度简并的，则对应 有f个本征函数：n1 ,n2 , ., nf,满足本征方程：,一般说来，这些函数 并不一定正交。,证明分如下两步进行,2. 满足正交归一条件的 f 个新函数
7、n j可以组成。,1. nj 是本征值 的本征函数。,1. nj是本征值 的本征函数。,2. 满足正交归一条件的f个新函数nj可以组成。,方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。,为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。,综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一化的，即组成正交归一系。,因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0，,所以，方程个数少于待定系数 Aj
8、i 的个数，因而，我们有多种可能来确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数nj 的确是算符 F 对应于本征值 的正交归一化的本征函数。,3.6 算符与力学量的关系,3.7 算符的对易关系,两力学量同时有确定值的条件,测不准关系,（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。,例 1：,三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：,例 2：,氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：,例 3：,一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：,（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。,（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。,
