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1、第二章 线性控制系统的数学模型,2.1 引言 2.2 输入/输出时间函数(微分方程)描述 2.3 输入输出传递函数描述 2.4 典型环节的传递函数 2.5 系统框图及其化简方法 2.6 控制系统的传递函数 2.7 信号流图和梅逊公式的应用,复习拉氏变换及拉氏反变换,2.1 引言,1. 控制系统数学模型的定义：是对实际物理系统的一种数学抽象广义理解：揭示控制系统各变量内在关系的数学解析表达式或图形表示,2. 建立数学模型的目的：分析、校正、计算机仿真控制系统,4常用数学模型表达形式： 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性,“三域”模型及其相互关系,5.
2、由数学模型求取系统性能的主要途径,2.2 输入/输出时间函数(微分方程)描述,列写线性系统微分方程 目的：确定系统输入量与输出量之间的时间函数关系方法与步骤： 1）根据实际情况，确定系统的输入、输出变量。2）从输入端开始，根据基本的物理或化学定律， 按信号传递方向列出元件的微分方程3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。4）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列,1）确定输入、输出量为F 、y,3）消去中间变量，可得系统微分方程,4）整理,1）确定输入、输出量为T 、 ,3）消去中间变量，可得系统微分方程,4）整理,1）确定输入、输出量为ur 、
3、u c,2）由基尔霍夫定律和广义欧姆定律得,、L、C三种元件的V-I关系，遵循广义欧姆定律,1）输入电枢电压ua 输出轴角速度w或角位移q扰动负载转矩TL,c 刚体旋转角加速度方程,3） 消去中间变量，整理得输入电枢电压ua ,输出角速度的二阶微分方程,若忽略电机转轴上的粘性摩擦系数f，二阶微分方程可写为,1）ur 、,2）列写各个部件的方程,反相器,功率放大器,电动机,测速发电机,反馈电位器,3） 消去中间变量，整理后得直流调速系统输入电压ur ,输出角速度的二阶微分方程,4）整理,将上述方程联立，得方程组,线性定常系统输入与输出关系的微分方程一般形式为,式中 r(t)为系统的输入量，c(t
4、)为系统的输出量ai, bj 为实常数,（2-1-14）,拉普拉斯（拉氏）变换定义为,其中s=+j，是一个复变数,F(s) 象函数，f(t) 原函数。,拉普拉斯（拉氏）反变换,定义：,复习拉氏变换,线性性质：,微分定理：,积分定理：（设初值为零）,时滞定理：,初值定理：,性质：,终值定理：,2.3 输入输出传递函数描述,求解微分方程可求出系统的输出响应但当方程阶次较高，则计算繁琐、且设计、分析系统不便，为此提出传递函数模型。,在初始条件为零时，两端取拉氏变换：,把微分算子d/dt用复变量s表示,微分定理：,微分方程传递函数:微分算子d/dt用复变量s表示把c(t) 和r(t)换为相应的象函数C
5、(s)和R(s)微分方程传递函数,二、微分方程与传递函数之间的转换,系统初始情况为零时，,（2-1-14）,（2-2-3）,对于多输入多输出的系统，要用传递函数矩阵去表征系统的输入与输出的关系。现代控制理论,四、传递函数的几种表达形式,则传递函数的通式可以写成：,式中：,或：,表示成零点、极点形式：,写成时间常数形式：,1、 根据传递函数的定义求传递函数,1）写出系统的微分方程式2）假设全部初始条件为零，取微分方程的拉氏变换3）写出系统输出量 C(s) 与输入量R(s) 之比的有理分式，即为系统的传递函数 G (s),四、传递函数的推导方法,2、电气网络复数阻抗直接求取传递函数,1）复数阻抗,
6、由式（1）得,（1）,消去上述式中的中间变量，求得：,2.4 典型环节的传递函数,6个典型环节：比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和纯滞后环节,无论什么样的系统，它的传递函数都是典型环节传递函数相乘积而得到的。把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。,特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化,一、比例环节（放大环节）,微分方程,传递函数,式中 K 放大系数，为一常数,实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。,输入：(t)角度 输出：u(t)电压,运动方程： u(t)=K(t) 传递函数：K比例系数，量纲为伏
7、/弧度,例1：变阻器式角位移检测器,输入：n1(t)转速 Z1主动轮的齿数 输出：n2(t)转速 Z2从动轮的齿数,运动方程：传递函数：,例 2：无间隙无变形齿轮传动,其它一些比例环节,(b)放大器,(c)晶体管放大器,(a)分压电路,微分方程,二、惯性环节（非周期环节）,传递函数,式中 K比例系数 惯性环节的时间常数,特点：输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟。,t,特点：输出量随时间成正比地无限增加,传递函数为：,输入为ui(t)，输出为u0(t),-,+,相应的传递函数为：,在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。 图2-4-5电路：
8、纯微分惯性环节 图2-4-7电路：一阶微分惯性环节,五、振荡环节,微分方程,特点：当 ，输入为一阶跃信号，则环节的输出呈周,传递函数,期振荡形式,六、纯滞后环节（延迟环节 、时滞环节）,其输出量和输入量的关系，由下式来表示,传递函数为：,式中 纯滞后时间延迟时间,特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。,以上6种是常见的基本典型环节的数学模型,无论什么样的系统，它的传递函数都是典型环节传递函数相乘积而得到的。把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。,2.5 系统框图及其化简方法,框图和信号流程图是控制系统的两种图形研究方法
9、,六种典型环节的框图 2-6-2,二系统框图的绘制步骤,（1）确定系统输入量与输出量。 （2）将复杂系统划分为若干个环节，作出各环节相应的框图。 （3）按系统各变量的传递顺序，依次将各环节的框图连接起来。 （4）求出各环节对应的传递函数。,例1 直流调速系统,直流调速系统的框图,直流调速系统原理图,元部件的时域方程：,相应的传递函数为,方程两边求拉氏变换为,令 ，得转速对电枢电压的传递函数：,令 ，得转速对负载力矩的传递函数：,求电枢控制式直流电动机的传递函数,转速表示为：,框图作用：1）直观形象的分析变量之间的关系 ；2）方便求解传递函数,定义：在框图上进行数学方程的运算。 类型：环节的合并
10、-串联-并联-反馈连接信号取出点或汇合点的移动。 原则：变换前后环节的数学关系保持不变，因而也称为框 图的等效变换。 目的：为了得到系统的传递函数,三、框图的化简（等效变换）,（一）环节的合并：有串联、并联和反馈三种形式。,1、环节的串联,2、环节的并联,正/负反馈联接,（二）信号取出点和汇合点的移动和互换：如果上述三种连接交叉在一起而无法化简，则要考虑移动某些信号的取出点和汇合点。,2)汇合点移动,a. 前移,b. 后移,c.相邻汇合点之间的移动,相邻汇合点之间可以随意调换位置,二者不相等。,注意：相邻取出点和汇合点之间不能互换!,常用的框图等效变换见表2-6-1,a,b,例1.,取出点移动
11、,汇合点移动,向同类移动,例2.,作用分解,例3.,结构图的化简步骤小结,1)若存在三种连接的交叉，通过信号取出点、汇合点前移或后移，消除交叉； 2)串联、并联环节的化简；3)由内环到外环逐步按反馈联接化简，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。,注意: 1）在移动信号的取出点、汇合点时，一定注意等效原则。,3）相邻取出点和汇合点之间不能互换!,2）汇合点向汇合点移动，取出点向取出点移动，避免取出点、会合点的交叉移动。向同类移动,2.6 控制系统的传递函数,1、开环传递函数：主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比,前向通道：从输入信号到输出信号之间的通道 反馈通道：从输出信号到与输
12、入信号相比较信号之间的通道,2、输出闭环传递函数：在初始条件为零的情况下，系统输出C(s)与输入量的拉氏变换之比。,闭环控制系统中有两个输入量给定输入R(s)扰动输入N(s),3、误差闭环传递函数：误差输出拉氏变换E(s)与输入信号的拉氏变换之比。,闭环控制系统中有两个输入量给定输入R(s)扰动输入N(s),提示：各个传递函数 都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征方程式。,2.7 信号流程图和梅逊公式的应用,框图及其等效变换虽然对分析系统很有效，但是对于比较复杂的系统，方框图的变换和化简过程往往显得繁琐、费时，并易于出错。采用信号流程图，不需作变换，利用梅逊公式可直接得出系统中任何两个变量
13、之间的数学关系。,一、基本概念,信号流程图是一种将线性方程用图形来表示的方法。信号流程图由节点和支路组成,例: 一个线性方程为,信号流程图,方程组的信号流程,1)按照节点的次序绘出各节点; 2)根据各方程式绘制各支路;3)当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图。,二、常用术语,输入节点（或源节点）：只有输出支路的节点,如x1、x5。 输出节点（或汇节点）：只有输入支路的节点,如x4。 混合节点：既有输出支路，又有输入支路的节点,如：x2、x3。 传 输：两个节点之间的增益叫传输。如：x1x2之间的增益为a，则传输也为a。 通道：又称为路径，是指从一个节点出发，沿着支路的箭号方向相
14、继经过多个节点间的支路，一个信号流图可以有多条通道。 开通道：如果通道从某个节点出发，终止于另一个节点上，并且 通道中每个节点只经过一次，则称这样的通道,前向通道：信号由输入节点到输出节点传递时，每个节点只通,过一次的通道,如：x1x2x3x4,前向通道传输(增益)：前向通道上各支路增益的乘积 如：x1x2x3x4总增益abc。 闭通道(回路、回环)：通道的起点就是通道的终点，并且与其它节点相交不多于一次的闭合通道叫回路、回环。 回环传输(回环增益)：回环中，所有支路增益的乘积。 图中有两个回环，一个是x2x3x2，其回路增益为be，另一个回路是x2x2，又叫自回路，其增益为d。 不接触回环：
15、如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环.,三、由结构图绘制信号流程图,先分析结构图与信号流程图的对应关系,1 结构图中的变量（信号线）、方框、传递函数与信号流程图中的节点、支路、增益相对应,4、注意：框图中相邻的取出点和汇合点，在信号图中应用两个节点表示，节点之间用传输为1的支路连接。,四、梅逊公式及其应用,n：从源节点到任何节点之间前向通道的总数,式中 L1所有不同回环的传输之和； L2任何两个互不接触回环传输的乘积之和； L3任何三个互不接触回环传输的乘积之和； Lm任何m个互不接触回环传输的乘积之和；,信号流图上从源节点（输入节点）到任何节点（包括汇节点即输出节点）的传输，即梅逊公式为：,Pk:第k条前向通道的传输,为信号流程图特征式,k为余子式，即从中除去与第k条前向通道Pk相接触的回环后余下的部分。,解：1）找出图中所有的前向通道。,只有一条前向通道 n=1，此前向通道传输,这三个回环都存在公共节点，即不存在不接触回环：L2 L3 Lm,
