理论力学09动量定理

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1、1,第九章 动量定理,2,动力学,实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需要研究质点系整体的运动情况。,动力学普遍定理概述,对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。,对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方程， 联立求解它们即可。,从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。,3,动力学,它们以简明的数学形式， 表明两种量 一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲

2、量、力 矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。,本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变与力的冲量之间的关系，（如：推车达到指定速度，10个人为什么就比20人所需时间更长？） 并研究质点系动量定理的另一重要形式质心运动定理。,4,一.质点系的质心质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。,动力学,质点系的质心 内力与外力,质心 C 点的位置：,5,在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质

3、心比重心具有更加广泛的力学意义。,动力学,内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：,二、质点系的内力与外力,外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。,6,动力学,动量与冲量,一、动量1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是kgm/s。一般用 K 或 P 表示,动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。,例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。,7,2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。,动力学,质点系的质量与

4、其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：,3.刚体系统的动量：设第i个刚体 则整个系统：,8,解: 曲柄OA： 滑块B： 连杆AB： （ P为速度瞬心， ）,动力学,例曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也为m。求当 = 45时系统的动量。,9,2力 是变矢量：（包括大小和方向的变化）元冲量：冲量：,1力 是常矢量：,动力学,二冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。一般用 S 或 I 表示。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同

5、样的总效应。,10,动力学,3合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和,11,9-1 动量定理及其基本方程,一质点的动量定理,质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力,（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）,动力学,质点的动量定理,微分形式：,（动量的微分等于外力的元冲量）,积分形式：,12,投影形式：,质点的动量守恒若 ，则 常矢量，质点作惯性运动若 ，则 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动,二质点系的动量定理,质点系的动量定理,动力学,对整个质点系：,对质点系内任一质点 i，,13,质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。,质点系动量的微分等于作用在质点系上所

6、有外力元冲量的矢量和。,动力学,14,投影形式：(将 式投影）,动力学, 质点系的动量守恒 若 则 常矢量。 若 则 常量。,只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。,15,9-2 质心运动定理,将 代入到质点系动量定理， 中，得,若质点系质量不变，,则 或,动力学,上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。,1. 投影形式：,16,3. 质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的运动， 质点系

7、质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中作用在质心这个点上。,动力学,或,17,5质心运动定理可求解两类动力学问题：已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束反力)。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。,只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。,动力学,4. 质心运动守恒定律若 ，则 常矢量，质心作匀速直线运动；若开始时系统静止，即 则 常矢量,质心位置守恒。若 则 常量，质心沿x方向速度不变； 若存在 则 常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变。,18,解: 取整个电

8、动机作为质点系研究， 分析受力， 受力图如图示 运动分析：定子质心加速度a1=0， 转子质心O2的加速度a2=e2， 方向指向O1。,动力学,例4 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。,19,根据质心运动定理，有,可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。,动力学,a1=0，,a2=e2,20,解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。,动力学,例5 浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重

9、杆的重量为 P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60, 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2 =30时船的位移。,受力分析如图示， ，且初始 时系统静止，所以系统质心的位置坐标 XC保持不变。,21,船的位移x，杆的位移,重物的位移,动力学,计算结果为负值，表明 船的位移水平向左。,初始质心位置,22,例2 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。,动力学,解：,选两物体组成的系统为研究对象。,受力分析，,由水

10、平方向动量守恒及初始静止；则,移动距离,23,运动分析，设经过时间后，流体AB 运动到位置ab，动量改变：,流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为流体将对弯管产生动压力(附加动压力)。 设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。,动力学,取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。,受力分析如图示。, 9.3 动量定理的一些典型应用,1 理想不可压缩流体一维定常流动管壁的附加动反力,24,动力学,由质点系动量定理；得,25,其中：静反力 ， 动反力,计算 时，常采用投影形式,与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力,动力学,即管壁约束力,液体定常流动欧拉方程

11、,静反力与W，P1，P2构成平衡力系， 动反力为单位时间内动量之差,26,运动学,例 9 .8 如图所示，水流入固定水管。进口流速 v1 = 2 m/s，方向铅垂，进 口截面积 0.02 m 2。出口 流 速 v2 = 4 m/s，与水平成30度角。求水对管壁的动压力,解：体积流量,所以管壁的附加动反力：,水对管壁的动压力与上述附加动反力FDx，FDy等值反向,27,运动学,设一个系统的质量随时间 t 连续变化， t 瞬时质量为 ， 经过 时间，质量的变化量为 若 dm 0 时，外界向系统输入质量， 若 dm 0时，系统向外界抛出质量。 下面，我们推导这种变质量系统的控制微分方程,2 、一类变

12、质量系统问题,28,运动学,主系统：瞬时质量为 的系统,经过 时间 主系统的质量变为m+dm （质量变化dm）,T时刻，主系统质心速度v,质心的速度变为v+dv,设dm相对主系统质心的速度vr,以 为研究对象，在 时间内，质量无变化，可以应用动量定理,29,运动学,30,运动学,例9.9 细绳绕过定滑轮垂直提升链条。假设链条总长度为 l = 20 m，链条以 v =0.4 m/s 匀速上升，求提升力 F 和地面支持力 N 的大小随时间 t 变化的函数。已知初始时链条静止在地面上，链条单位长度的质量为 2 kg/m 。,解：设链条最高点 H 的瞬时高度为 x，x = vt； 链条运动部分（即主系统）的质量为2x 。 以运动部分的链条为分析对象，在 dt时间内进入运动的、长度为dx的一小段链条，经链条运动部分的冲击，绝对速度由零突变为 v ，所以v r = 0-v 。在 x 方向应用变质量系统的运动微分方程，,31,运动学,得：,32,运动学,动量定理习题,第9 章 9.1.3；9.9，9.10；,33,动力学,第九章结束,34,运动学,35,运动学,36,121 质点系的质心 内力与外力122 动量与冲量123 动量定理124 质心运动定理,第十二章 动量定理,